О ковариантной производной

[misha.physics]

Здравствуйте.
Рассматриваю ковариантную производную от вектора $\vec{V}$ вдоль направления $\vec{x}$:
${\nabla}_{\vec{x}}{\vec{V}}$.
Сначала получаю формулу: ${\nabla}_{\vec{x}}{\vec{V}}=x^j({\nabla}_{\vec{r}_j}{{V^i}\cdot \vec{r}_i+V^i}{\nabla}_{\vec{r}_j}{\vec{r}_i})$,
потом после преобразований получаю формулу:
${\nabla}_{\vec{x}}{\vec{V}}=x^j(\partial _jV^i+\Gamma ^i_{sj}V^s)\vec{r_i}$.
Обозначаем то что в скобке через $V^i_{;j}$:
$V^i_{;j}=(\partial _jV^i+\Gamma ^i_{sj}V^s)$.
А дальше говорим, что $V^i_{;j}$ ето ковариантная производная от $i-$той компоненты контравариантного вектора$V$ по направлению $\vec{r_j}$. Значит $V^i_{;j}$ равно ${\nabla}_{\vec{r}_j}{{V^i}}$? Но выражение ${\nabla}_{\vec{r}_j}{{V^i}}$ было у нас в первой формуле, ето часть первого слагаемого в скобке. Как же получается, что ето выражение оказалось равным целой скобке во второй формуле?
Или я где то ошибся с обозначениями?

И еще один вопрос. Хочу на пальцах понять, что такое ковариантная производная от вектора $\vec{V}$ по направлению, задаваемому вектором $\vec{x}$. То есть что такое:
${\nabla}_{\vec{x}}{\vec{V}}$.
Представляю ето себе так:
Сначала предположим что мы имеем дело с плоскостью. Выберем на ней любой вектор $\vec{V}$. Выберем любой вектор $\vec{x}$. Отнесем начала етих векторов с помощью паралельного переноса в одну точку. Передвинем вектор $\vec{V}$ (по сути его начало) вдоль вектора $\vec{x}$ на некоторое расстояние. Получим новый вектор $\vec{V'}$. Значит ковариантная производная ето:
$(\vec{V'}-\vec{V})$ деленное на расстояние на которое мы двигали вектор. Я правильно понял? Значит результат ковариантного дифференцирования ето вектор. Но для плоскости векторы $\vec{V'}$ и $\vec{V}$ будут совпадать. Значит результат ковариантного дифференцирования на плоскости равен нулю.

Рассмотрим ету операцию на поверхности. Рассмотрим вектор $\vec{V}$. Рассмотрим касательную плоскость в точке начала етого вектора. Зададим вектор направления $\vec{x}$, выходящий из етой же точки. Правильно ли что длина вектора $\vec{x}$ должна быть бесконечно малой? Если мы будем двигать вектор $\vec{V}$ в направлении вектора $\vec{x}$ (на бесконечно малое расстояние), то ето движение не будет выходить за пределы касательной плоскости (той что была у нас вначале). Но еслы мы перемещам вектор в пределах той самой касательной плоскости, то ситуация ничем не отличается от плоскости. Почему здесь результат ковариантного дифференцирования будет уже не ноль?
Или я здесь рассматриваю только ковариантные производные от векторов, путем паралельного переноса того самого вектора. Может можно еще просто взять два разные вектора в разных точках поверхности и образовать что-то типа разностного соотношения?

Я требую слишком многого наверое. Может просто хорошую литературу посоветуете по етому вопросу (попроще, для физиков ).

По первому вопросу кажется понял. Сначала я говорю о ковариантной производной от вектора, а потом уже от числа. Ковариантные производные можно брать только от векторов или и от их компонентов тоже? Простите за етот вопрос

[Brukvalub]

Пока ваши представления о ковариантном дифференцировании оставляют желать лучшего. Почитайте, например, гл. 10 книги Новиков, Тайманов Современные геометрические структуры и поля.

[Metford]

misha.physics
Ковариантная производная учитывает тот факт, что базисные векторы могут менять своё направление при переходе от точки к точке (я говорю сейчас только про ортонормированные базисы). Например, если Вы начертите координатные линии полярной системы координат, а потом в двух произвольных точках отметите базисы, то увидите, что соответствующие орты направлены по-разному. Соответственно, ковариантные производные возникают всякий раз, когда приходится дифференцировать нечто, привязанное к базису по пространственным координатам: векторы или тензоры более высоких валентностей. Учёт изменения направления базисных векторов приводит к появлению в производной символов Кристоффеля.

Параллельный перенос вектора по некоторой поверхности - это ещё хитрее штука. Её пока, наверное, лучше не трогать. Пока что.

Почитать об этом всём можно, например, в книгах
Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление
Позняк Э.Г., Шикин Е.В. - Дифференциальная геометрия. Первое знакомство

[misha.physics]

Brukvalub, Metford, спасибо за советы, литературу и объяснения.
С первой проблемой только что кажется разобрался. $V^i_{;j}$ не равно $\nabla _{\vec{r}_j}V^i$.
$\nabla _{\vec{r}_j}V^i$ ето обычная частная производная $\frac{\partial V^i}{\partial x^j}$.
А $V^i_{;j}$ равно суме етой частной производной плюс слагаемое включающее символы Крисстофеля (чего нет на плоскости): $V^i_{;j}=\nabla _{\vec{r}_j}V^i+\Gamma ^i_{sj}V^s$.
И плюс етот появляется при диффиринцировании произведении за правилом Лейбница. И как раз диффиринцирование базисных векторов и дает символы Крисстоффеля. Ведь на поверхности они зависят от точки, в отличие от плоскости.

(Оффтоп)

Кстати, етот пример с двумя слагаемыми в ковариантной производной, етот плюс, который получается из выше написаного и демонстрирует то, что я называю понять суть "откуда ето берется"

[pogulyat_vyshel]

misha.physics в сообщении #1258066 писал(а):

символы Крисстофеля (чего нет на плоскости)

таки прям вот уж так сразу и нет?

misha.physics в сообщении #1258066 писал(а):

$\nabla _{\vec{r}_j}V^i$ ето обычная частная производная $\frac{\partial V^i}{\partial x^j}$.

если $\vec{r}_j$ это базисный вектор системы координат (дурацкое обозначение), то нет вообще говоря. Дубровин Новиков Фоменко Совр. геометрия -- всего проще

[misha.physics]

pogulyat_vyshel, ага, значит символов Крисстофеля не будет только для декартовой системы координат на плоскости. А для криволинейной (например полярной) будут? Значит символы Крисстофеля появляются не обязательно на "кривых" поверхностях... Главное чтобы базисные векторы не были постоянны...

[Metford]

misha.physics
Я знаю, что есть любители (в основном, занимающиеся ОТО) обозначать производные запятыми, точками с запятой - это их право. Мне это никогда не нравилось, поэтому я не буду использовать эти обозначения. Поехали дальше. Отправной точкой для Вас могут послужить два соотношения. Первое: векторы локального базиса $\vec{R_k}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial u^k}$, где $u^k$ - (в общем случае) криволинейные координаты. Второе: производная от векторов локального базиса: $\frac{\partial\vec{R_k}}{\partial u^m}=\Gamma^n_{km}\vec{R_n}$. По сути, здесь написано, что производная вектора локального базиса должна сама раскладываться по этому базису. Коэффициенты разложения - символы Кристоффеля (второго рода) $\Gamma^n_{km}$.
Этого уже достаточно для построения ковариантной производной. Хочу я, допустим продифференцировать некоторый вектор $\vec{a}$:

$$\frac{\partial\vec{a}}{\partial u^k}=\frac{\partial}{\partial u^k}(a^i\vec{R_i})=\frac{\partial a^i}{\partial u^k}\vec{R_i}+a^i\frac{\partial\vec{R_i}}{\partial u^k}=\frac{\partial a^i}{\partial u^k}\vec{R_i}+a^i\Gamma^n_{ik}\vec{R_n}.$$

Индексы $i$ и $n$ немые, их можно поменять местами - фактически переобозначить:

$$\frac{\partial\vec{a}}{\partial u^k}=\left(\frac{\partial a^i}{\partial u^k}+a^n\Gamma^i_{nk}\right)\vec{R_i}\equiv(\nabla_k a^i) \vec{R_i}.$$

Вот появилась ковариантная производная контравариантных компонент вектора $\nabla_k a^i$. И хороша она тем, что получился тензор второй валентности, тогда как частные производные $\frac{\partial a^i}{\partial u^k}$ компонентами тензора не являются.

Символы Кристоффеля появляются и на плоскости. Другое дело, что ненулевые символы Кристоффеля не гарантируют, что поверхность обязательно искривлена. Однозначно судить об искривлённости поверхности можно, вычисляя её гауссову кривизну.

pogulyat_vyshel в сообщении #1258071 писал(а):

Дубровин Новиков Фоменко Совр. геометрия -- всего проще

Мягко говоря, сомнительно. Особенно для первого чтения. Моё мнение, основанное на опыте общения со студентами-физиками. На универсальность его, конечно, не претендую.

[pogulyat_vyshel]

Metford в сообщении #1258076 писал(а):

Мягко говоря, сомнительно. Особенн

там есть плохо написанные главы и хорошо написанные главы. Глава по тензорному анализу там с моей точки зрения хорошо написана и именно для первого чтения

[misha.physics]

Metford в сообщении #1258076 писал(а):

misha.physics
Я знаю, что есть любители (в основном, занимающиеся ОТО) обозначать производные запятыми, точками с запятой - это их право. Мне это никогда не нравилось, поэтому я не буду использовать эти обозначения.

Metford, да мне тоже не то чтобы нравится, просто пока не разберешься в етом сам, приходиться пользоваться тем что уже есть, чтобы не наделать еще больше ошибок :)

Кстати, а в разложении вторых производных от параметризации поверхности должнен быть еще член $b_{km}\vec{n}$ разложения по вектору нормали (с коеффициентами 2-й квадратичной формы)?

Спасибо, что так развернуто расписали, я понимаю, что должен сам искать ето в книге, и не хочу злоупотреблять добротой учасников етого форума.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1258085 писал(а):

Кстати, а в разложении вторых производных от параметризации поверхности должнен быть еще член $b_{km}\vec{n}$ разложения по вектору нормали (с коеффициентами 2-й квадратичной формы)?

Это Вы, судя по всему, о деривационном уравнении Гаусса говорите. Да, в общем случае там есть такое слагаемое. Но я расписывал простейший случай, когда дело на плоскости происходит - для неё вторая квадратичная форма зануляется. Она ведь описывает отклонение поверхности от касательной плоскости в рассматриваемой точке. Плоскость никуда не отклоняется

misha.physics в сообщении #1258085 писал(а):

я понимаю, что должен сам искать ето в книге

Найдёте, конечно. Пусть это будет первым шагом. Основная идея здесь достаточно проста. Если её сразу понять, то дальше никаких проблем уже не будет: в основном выкладки пойдут.

pogulyat_vyshel в сообщении #1258077 писал(а):

Глава по тензорному анализу там с моей точки зрения хорошо написана и именно для первого чтения

Возможно. Вам виднее: я давно туда не заглядывал. Насколько мне помнится, часть книги с малыми изменениями перекочевала у упомянутую Brukvalub книгу. И там, в принципе, всё хорошо написано. Наверное, Новиков за тензорный анализ отвечал

[пианист]

misha.physics
Возможно, Вам поможет такое соображение (мне помогло когда-то): на произвольном многообразии даже для близких точек нет способа a priori сравнить вектора из касательных пространств к многообразию в этих точках, нужен какой-то способ переноса. Символ Кристоффеля и есть этот перенос.