Возможность построения векторного пространства

[Returning0fficer]

Возможно ли построить векторное пространство на $R$ над $R$, если умножение на скаляр определено следующим образом: $(r)\cdot u = r^3 u$, где $r$ - элемент поля, $u$ - вектор.

Кажется самоочевидным, что не выполняется дистрибутивность, так как: $(r_1 +r_2)\cdot u = r_1^3 u+ r_2^3 u$ с другой стороны $(r_1 +r_2)\cdot u = r_1^3 u +3r_1^2 r_2 u + 3r_1 r_2^2 u +r_2^3 u$. Но это выполнимо, только, если $3r_1^2 r_2 u + 3r_1 r_2^2 u = 0$, но если вектор $u$ и скаляры $r_1,r_2$ отличны от нуля, то подобное невозможно - в поле $R$ нет делителей нуля.

Собственно, отсюда следует вопрос - как вообще такое векторное пространство можно построить? То, что его можно построить - мне уже известно - лектор подсказал. Но как?

[Slav-27]

(Лично мне) непонятно, чего вы хотите. Может, расскажете подробнее, что именно сказал лектор?

Returning0fficer в сообщении #1258044 писал(а):

умножение на скаляр определено следующим образом: $(r)\cdot u = (r^3)\cdot u$

Что это значит?

Нульмерное пространство подойдёт?

[Returning0fficer]

Slav-27
Собственно цитирую: Можно ли построить векторное пространство на $R$ над $R$ со следующей операцией умножения на скаляры: $r\cdot u = r^3u$. Ответ: да, можно. Мой вопрос - как это доказать, если даже дистрибутивность не работает?

[Slav-27]

Returning0fficer в сообщении #1258052 писал(а):

$r\cdot u = r^3u$

Мне кажется, что условие задачи вы пока не можете сформулировать, поэтому давайте сначала с ним разберёмся. Что означает левая часть этой формулы и что правая?

Насколько я понял, $r$ -- это вещественное число. А что такое $u$?

Какая операция обозначается точкой $r\cdot u$ и что за объект $r^3u$?

-- 22.10.2017, 20:22 --

И что такое "векторное пространство на $R$ над $R$"? Я знаю только "векторное пространство над таким-то полем", а что такое "на чём-то"?

[Returning0fficer]

Slav-27
В самом первом сообщении было написано, что $u$ - вектор - элемент векторного пространства на $R$. $R$ - множество вещественных чисел. $R$ обладает структурой поля и НАД ним мы строим векторное пространства НА $R$. То есть, векторы и скаляры - действительные числа.
$\cdot$ - операция умножения элементов векторного пространства на элементы поля - на скаляры. Объект $r^3 u$ - элемент векторного пространства на $R$, то есть вектор.


Векторное пространство "на чём-то" - задание множества носителя структуры векторного пространства.

[arseniiv]

«Существует ли векторное пространство $(\mathbb R,\mathbb R,\oplus,\odot)$, где умножение скаляра на вектор определено как $s\odot v = s^3v$, а операция сложения векторов $\oplus$ хоть какая-нибудь» — подходит?

[Returning0fficer]

arseniiv
Да, абсолютно точно. Я тоже думал, что тут всё дело в векторном сложении, которое явно не определено, но как его задать, дабы структура "работала" - я не знаю.

[arseniiv]

Можно взять какое-то известное векторное пространство $(V,\mathbb R,+,\cdot)$ и поискать изоморфизм $f$ из него в таинственное, пристально глядя на то, что даёт определение изоморфизма. Правда, такие задачи, вроде, обычно дают до определения изоморфизма… ну, тогда остаётся только угадайка.

UPD. Заредактировался, поправил.

[Slav-27]

Теперь понятно. Своеобразная задачка!

Тогда предлагаю, во-первых, использовать следующие обозначения:
вещественные числа как элементы поля скаляров обозначать латинскими буквами ($a, b, x$ и т. д.); их сумму и произведение -- как обычно: $a+b, ab$ (или $a\cdot b$);
вектор векторного пространства $V$, которое мы будем строить, соответствующий числу $a$, обозначать $\vec a$; сложение векторов обозначать $\vec a \oplus \vec b$, умножение вектора на скаляр -- $k\odot \vec b$ (при этом условие задачи требует, чтобы $k\odot\vec b=\overrightarrow {k^3 b}$.

Надо, значит, определить операцию $\oplus$, то есть задать её как $\vec a \oplus \vec b=\overrightarrow{s(a,b)}$, где $s:\mathbb R^2 \to \mathbb R$ -- некоторая функция.

Для начала подумайте: какая размерность может быть у $V$? Это просто.

-- 22.10.2017, 21:17 --

То, что я написал перед предложением подумать по размерность -- понятно?

А потом надо будет сделать вот что: не полениться и выписать все 8 аксиом векторного пространства (в наших обозначениях). В результате задача сведётся к следующей: придумать функцию $s:\mathbb R^2 \to \mathbb R$, удовлетворяющую таким-то и таким-то условиям...

[Returning0fficer]

Slav-27
Спасибо за предложенную нотацию -- мне нравится.

Про размерность $V$ -- может быть любая? Если взять нульмерное $V$ на $R$, где базисный элемент - произвольная точка вещественной прямой или, например, $V$ на множестве всех бесконечных последовательностей из элементов $R$, где базис несчетен -- всё работает, при умножении на произвольный элемент поля в кубе. Вроде бы, есть теорема, в которой говорится, что размерность носителя структуры векторного пространства не должна быть больше размерности носителя структуры поля. Здесь же, как не извращайся, больше несчетного множества не получить, если, конечно, мы хотим, чтобы элементами $V$ остались элементы $R$, а не подмножества $R$.


"Условия" для функции -- соответствие аксиомам пространства, получившегося на выходе пространства $V$?

[Slav-27]

Returning0fficer в сообщении #1258074 писал(а):

Про размерность $V$ -- может быть любая?

Вовсе нет.

Нульмерное нельзя (я сначала предлагал нульмерное, потому что условие не понял). Почему нельзя: потому что в нульмерном пространстве только один элемент, а нам надо континуум... Ведь мы хотим, чтобы множество $V$ было биективно с $\mathbb R$.

Подсказка: $\vec a = \sqrt[3] a \odot \vec 1$.

-- 22.10.2017, 21:34 --

Returning0fficer в сообщении #1258074 писал(а):

"Условия" для функции -- соответствие аксиомам пространства, получившегося на выходе пространства $V$?

Ну да.

Умножение же уже определено. Значит что осталось? Осталось указать нулевой вектор (это элементарно: в любом векторном пространстве для любого вектора $\vec v$ верно $0\cdot\vec v=\vec 0$) и определить сложение, то есть задать функцию $s(a,b)$. Как попало её задавать нельзя, потому что аксиомы векторного пространства задают для неё какие-то требования. Надо только выписать, какие...

[Returning0fficer]

Slav-27
Тогда базис несчетен, да? Нам подойдёт для $V$ модель множества всех бесконечных наборов/последовательностей элементов $\mathbb R$, то есть множество функций $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R $. Это необходимо, чтобы линейная оболочка базиса нашего линейного пространства $V$ была равномощна $\mathbb R$. (Извините, что расписываю всё так медленно и подробно, просто хочу разобраться в теме).
В подсказке вы говорите о том, что биекцию между пространством $V$ и полем $\mathbb R$ можно установить, как функцию $g: V \rightarrow \mathbb R$ $\{\forall \vec a|g: \vec a\leftrightarrow a^{1/3}\}$

Я ещё ошибся, написав, что базисы нульмерного пространства одноточечен, но он пуст.

Про нулевой вектор очевидно, так как он задан в аксиомах, как и существование нулевого скаляра (нейтрального по сложению элемента поля) и то, что умножение на него всегда равно нулевому вектору. Аксиомы векторного пространства постулируют, что функция $s$ должна: $s(\vec a,\vec b)=s(\vec b,\vec a)$ и $g(s(\vec a,\vec b),\vec c) = s(g(\vec b,\vec c)\vec a)$

[Slav-27]

Returning0fficer в сообщении #1258088 писал(а):

Извините, что расписываю всё так медленно и подробно, просто хочу разобраться в теме

Это, наоборот, хорошо.

Returning0fficer в сообщении #1258088 писал(а):

Нам подойдёт для $V$ модель множества всех бесконечных наборов/последовательностей элементов $\mathbb R$, то есть множество функций $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb R $.

Не понимаю. Насколько я понял ваше условие, вам требуется построить векторное пространство $V$ так, чтобы как множество оно взаимно-однозначно соответствовало множеству $\mathbb R$. Иными словами, векторы пространства $V$ должны быть занумерованы вещественными числами. (Напоминаю, что вектор, соответствующий числу $a$, мы договорились обозначать $\vec a$.) Зачем вы собрались моделировать $V$ какими-то ещё бесконечными последовательностями? Вектор $\leftrightarrow$ число.

Returning0fficer в сообщении #1258088 писал(а):

Это необходимо, чтобы линейная оболочка базиса нашего линейного пространства $V$ была равномощна $\mathbb R$.

Это предложение я тоже не понял по тем же причинам.

Returning0fficer в сообщении #1258088 писал(а):

В подсказке вы говорите о том, что биекцию между пространством $V$ и полем $\mathbb R$ можно установить, как функцию $g: V \rightarrow \mathbb R$ $\{\forall \vec a|g: \vec a\leftrightarrow a^{1/3}\}$

Нет, я говорю не об этом. Биекция между $V$ и $\mathbb R$ установлена заранее по условию задачи. Можно ещё по-другому сказать, что как множество наше будущее векторное пространство $V$ получено так: взяли экземпляр множества $\mathbb R$ ("сняли копию") и назвали его $V$. Теперь на этом множестве мы пытаемся задать структуру векторного пространства над полем $\mathbb R$.

Returning0fficer в сообщении #1258088 писал(а):

$g: V \rightarrow \mathbb R$ $\{\forall \vec a|g: \vec a\leftrightarrow a^{1/3}\}$

Я не вижу здесь ничего, кроме бессмысленного набора символов.

Returning0fficer в сообщении #1258088 писал(а):

$s(\vec a,\vec b)=s(\vec b,\vec a)$ и $g(s(\vec a,\vec b),\vec c) = s(g(\vec b,\vec c)\vec a)$

Требований там получится скорее всего больше, чем два.

-- 22.10.2017, 22:36 --

(Оффтоп)

Я ухожу как минимум до завтра.

-- 22.10.2017, 22:45 --

Если вы этого ещё не сделали, советую найти определение векторного пространства и несколько раз вдумчиво его прочитать.

[Returning0fficer]

Slav-27

(Оффтоп)

Хорошо, спасибо за ответы и исправление моих ошибок. Теперь у меня будет время детальнее обдумать свой ответ.

arseniiv
Я всё ещё не понимаю, почему базис $\mathbb R$ над $\mathbb R$ должен быть обязательно одномерен. Если я правильно понял, то, что мне писал Slav-27 выше, то у нас в условии задачи уже сказано о том, что векторное пространство несчетно - биективно отображается в $\mathbb R$. Если оно несчетно, то нет особой разницы между одноэлементным базисом, линейная оболочка которого несчетна и базисом из несчетного числа элементов, линейная оболочка которого тоже несчетна. Ведь произведение несчетного числа несчетных множеств -- несчетное множество. И в первом, и во втором случае, мы можем "занумеровать" элементы пространства вещественными числами.

[arseniiv]

Returning0fficer в сообщении #1258104 писал(а):

Я всё ещё не понимаю, почему базис $\mathbb R$ над $\mathbb R$ должен быть обязательно одномерен.

В принципе, не важно, должен ли. Здесь уже есть более конкретные указания на то, какой должна быть размерность.

Returning0fficer в сообщении #1258104 писал(а):

Ведь произведение несчетного числа несчетных множеств -- несчетное множество.

Это тоже к теме не очень относится, притом тут две ошибки, которые в данном случае, правда, компенсируют друг друга:
(1) несчётно-то несчётно, но не обязательно той же мощности. Например, множество всевозможных функций $\mathbb R\to\mathbb R$ имеет мощность больше мощности $\mathbb R$.
(2) чтобы у векторного пространства был бесконечный базис, необходимо, чтобы любой вектор представлялся конечной линейной комбинацией элементов базиса. То есть его координаты должны содержать только конечное число ненулевых значений, и множество таких наборов координат — уже не $(\text{поле})^{(\text{базис})}$, а меньше даже множества $(\text{поле})^* = \bigcup\limits_{n\in\mathbb N} (\text{поле})^n$, мощность которого для бесконечного поля равна мощности самого поля.