Оператор и операция. В чём различия?

[arseniiv]

(ewert)

ewert в сообщении #1257480 писал(а):

Да как сказать. Бывают, например, линейные пространства. И в них бывают операции.

Ладно, мне почему-то с такими гетерогенными операциями вчера только матлогика вспоминалась. Не хотел запутывать ТС ещё больше. Кроме линейных пространств, их обобщений и частных случаев в широком употреблении, кажется, таких нет.

[provincialka]

Мне тут в ЛС сообщили одно интересное наблюдение по теме. Передаю своими словами с разрешения автора.

Операции (такие, как сложение векторов или групповое умножение) обычно в некотором смысле уникальные, штучные. В то время как операторы -- представители класса аналогичных объектов. Например, дифференцирование -- частный случай дифференциального оператора.

[Dmitriy40]

Может быть границу провести по типу объектов: операции (в основном) преобразуют множество в множество, операторы же преобразуют функцию в (другую) функцию? Много ли найдётся из этого исключений?

[arseniiv]

Пространства, отображения которых зовут операторами, не всегда состоят из функций. Ну вот те же линейные.

[Евгений Машеров]

По-моему, тут изначально предполагается противопоставление понятий. А они не являются противопоставленными, в том смысле, что "это уже не бой, это сражение!" (научная консультация профессора Академии Генштаба генералу во время русско-японской войны).
Обобщая понятие "арифметические действия", получили "операции", уже не только четыре арифметических и определённые не только на действительных числах. А обобщая понятие "операция", получили "оператор". Причём где именно проходит граница - принято условным соотношением, и разным в разных областях и у разных авторов.

[Dementor]

(Оффтоп)

Для себя операцию воспринимал как один из путей из А в Б, а оператор как набор дорожных знаков и светофоров на этом пути.

[provincialka]

Не знаю, как ТС, но, думаю, некоторые люди воспринимают "операцию" как некое "действие". Например, что такое осевая симметрия? На обыденном уровне она представляется так: берем плоскость, поднимаем, переворачиваем и кладем обратно, совмещая положение оси. То есть для реализации этой операции нужен выход в трехмерное пространство.

В математике же не так. Мы просто говорим: Точка $A$ переходит в точку $B$ по такому-то правилу. И никакие промежуточные положения нас не интересуют. Так что вполне можно обойтись плоскостью, выход в пространство не требуется.

[ewert]

provincialka в сообщении #1257512 писал(а):

Кстати, сейчас заметила. Если отображение $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ , то в матанализе его назовут вектор-функцией, а в линале -- оператором (особенно, если отображение линейное).

Не особенно, а только (в линале нелинейных операторов не бывает). И понятно, в принципе, почему. Потому что функции интересны главным образом тем, что их можно дифференцировать. Однако линейную вектор-функцию дифференцировать бесполезно -- она же сама и получится.

[Brukvalub]

Интересно вот еще что: можно ли успешно осваивать математику, так и не научившись четко различать понятия "операция" и "оператор"? На мой взгляд - можно! Так что сам вопрос выеденного яйца не стОит, изучая математику, каждый индивидуум сам по контексту постепенно получает довольно точную картину, где какой из этих терминов используется.