2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 решение системы ОДУ и первые интергралы системы ОДУ
Сообщение04.03.2006, 15:08 


20/12/05
31
собственно не много запутался в определениях:
чем первый интеграл системы обыкновенных диф. уравнений (ОДУ) отличается от общего решения системы ОДУ.
Заранее блгодарен за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение системы ОДУ и первые интергралы системы ОДУ
Сообщение04.03.2006, 20:58 
Заслуженный участник


09/01/06
800
zhe писал(а):
собственно не много запутался в определениях:
чем первый интеграл системы обыкновенных диф. уравнений (ОДУ) отличается от общего решения системы ОДУ.
Заранее блгодарен за ответы.


Рассмотрим уравнение $y'=f(x,y)$.

Определение 1.
Однопараметрическое семейство решений $y=\varphi(x;C)$ уравнения называется общим решением уравнения в области G, если при надлежащем выборе
параметра C оно дает любое решение уравнения в области G.

Определение 2.
Соотношение вида $\Phi(x,y;C)=0$ называется общим интегралом уравнения в
области G, если при надлежащем выборе параметра C оно является уравнением
любой интегральной кривой уравнения, лежащей в области G.

Пример различия решения и интеграла.
Рассмотрим уравнение $y'=-\frac{x}{y}$

Решениями этого уравнения являются функции $y=\sqrt{1-x^2}$ и $[math]y=-\sqrt{1-x^2}$[/math] на $x\in (-1,1)$.
А интеграл $x^2+y^2-1=0$, $x\in [-1,1]$ включает в себя оба этих решения.

Аналогично с общим решением и общим интегралом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2006, 07:07 


20/12/05
31
значит я правильно понимаю что если я знаю первые интегралы системы ОДУ то я могу найти решения этой системы или же это не так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.03.2006, 21:11 
Заслуженный участник


09/01/06
800
zhe писал(а):
значит я правильно понимаю что если я знаю первые интегралы системы ОДУ то я могу найти решения этой системы или же это не так?


Я сначала немного не понял вопрос и дал определение интеграла, а не первого интеграла. Итак,

Определение 3.
Функция $V(x,y)=V(x,y_1,\dots,y_n)\in C^{1,1}_{x,y}(G)$, которая не является
тождественно постоянной, называется первым интегралом системы, если ее
производная в силу этой системы равна 0 в G. Иными словами, первый интеграл
системы обращается в постоянную вдоль решений системы (*).

Пример.
Система
$x'=y
$y'=-x
имеет первый интеграл $V(x,y)=x^2+y^2$.

Знание первых интегралов помогает находить решения, но не всегда можно найти общее решение.

Если многомерная система имеет один первый интеграл, особого счастья это Вам не принесет. Впрочем, можно сделать замену переменной и понизить порядок системы...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2006, 09:14 


20/12/05
31
а если я все таки имею систему из 2х диф уравнений и нашел 2 независимых первых интеграла
я могу из этих первых интегралов получить решение системы уравнений или все таки мне это ничего не дает?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.03.2006, 21:12 
Заслуженный участник


09/01/06
800
zhe писал(а):
а если я все таки имею систему из 2х диф уравнений и нашел 2 независимых первых интеграла


Функционально независимых?

Напишите здесь свою систему. Надо посмотреть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 06:17 


20/12/05
31
$
\left\{
 \begin{array}{l}
 \displaystyle\frac{dp_3}{ds} = p_3(P-p_3^2-p_4^2) \\ \\
 \displaystyle\frac{dp_4}{ds} = p_4(P-p_3^2-p_4^2) \\ \\
 \end{array}
\right.
$
Здесь P некоторорая константа

Соответственно первые интегралы

$
\left\{
 \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{p_3}{p_4}=C_1 \\ \\
\displaystyle \frac{1}{P}\ln{\frac{p_4}{\sqrt{P-p_3^2-p_4^2)}}}=s-C_2
 \end{array}
\right.
$

вроде бы ни где не ошибся

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 09:49 
Заслуженный участник


09/01/06
800
zhe писал(а):
$
\left\{
 \begin{array}{l}
 \displaystyle\frac{dp_3}{ds} = p_3(P-p_3^2-p_4^2) \\ \\
 \displaystyle\frac{dp_4}{ds} = p_4(P-p_3^2-p_4^2) \\ \\
 \end{array}
\right.
$
Здесь P некоторорая константа

Соответственно первые интегралы

$\displaystyle \frac{p_3}{p_4}=C_1 $
[skip]

вроде бы ни где не ошибся


Достаточно интеграла $p_3/p_4=C$. Подставляете $p_3=Cp_4$ в любое уравнение и интегрируете. Вот Вам и будет счастье!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.03.2006, 11:00 


20/12/05
31
вы не поверите но второй интеграл найден именно таким образом
просто я хотел понять правильно ли я мыслю только и всего

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group