решение системы ОДУ и первые интергралы системы ОДУ

[zhe]

собственно не много запутался в определениях:
чем первый интеграл системы обыкновенных диф. уравнений (ОДУ) отличается от общего решения системы ОДУ.
Заранее блгодарен за ответы.

[V.V.]

zhe писал(а):

собственно не много запутался в определениях:
чем первый интеграл системы обыкновенных диф. уравнений (ОДУ) отличается от общего решения системы ОДУ.
Заранее блгодарен за ответы.

Рассмотрим уравнение $y'=f(x,y)$.

Определение 1.
Однопараметрическое семейство решений $y=\varphi(x;C)$ уравнения называется общим решением уравнения в области G, если при надлежащем выборе
параметра C оно дает любое решение уравнения в области G.

Определение 2.
Соотношение вида $\Phi(x,y;C)=0$ называется общим интегралом уравнения в
области G, если при надлежащем выборе параметра C оно является уравнением
любой интегральной кривой уравнения, лежащей в области G.

Пример различия решения и интеграла.
Рассмотрим уравнение $y'=-\frac{x}{y}$

Решениями этого уравнения являются функции $y=\sqrt{1-x^2}$ и $[math]y=-\sqrt{1-x^2}$[/math] на $x\in (-1,1)$.
А интеграл $x^2+y^2-1=0$, $x\in [-1,1]$ включает в себя оба этих решения.

Аналогично с общим решением и общим интегралом.

[zhe]

значит я правильно понимаю что если я знаю первые интегралы системы ОДУ то я могу найти решения этой системы или же это не так?

[V.V.]

zhe писал(а):

значит я правильно понимаю что если я знаю первые интегралы системы ОДУ то я могу найти решения этой системы или же это не так?

Я сначала немного не понял вопрос и дал определение интеграла, а не первого интеграла. Итак,

Определение 3.
Функция $V(x,y)=V(x,y_1,\dots,y_n)\in C^{1,1}_{x,y}(G)$, которая не является
тождественно постоянной, называется первым интегралом системы, если ее
производная в силу этой системы равна 0 в G. Иными словами, первый интеграл
системы обращается в постоянную вдоль решений системы (*).

Пример.
Система
$x'=y
$y'=-x
имеет первый интеграл $V(x,y)=x^2+y^2$.

Знание первых интегралов помогает находить решения, но не всегда можно найти общее решение.

Если многомерная система имеет один первый интеграл, особого счастья это Вам не принесет. Впрочем, можно сделать замену переменной и понизить порядок системы...

[zhe]

а если я все таки имею систему из 2х диф уравнений и нашел 2 независимых первых интеграла
я могу из этих первых интегралов получить решение системы уравнений или все таки мне это ничего не дает?

[V.V.]

zhe писал(а):

а если я все таки имею систему из 2х диф уравнений и нашел 2 независимых первых интеграла

Функционально независимых?

Напишите здесь свою систему. Надо посмотреть.

[zhe]

$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{dp_3}{ds} = p_3(P-p_3^2-p_4^2) \\ \\ \displaystyle\frac{dp_4}{ds} = p_4(P-p_3^2-p_4^2) \\ \\ \end{array} \right. $
Здесь P некоторорая константа

Соответственно первые интегралы

$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{p_3}{p_4}=C_1 \\ \\ \displaystyle \frac{1}{P}\ln{\frac{p_4}{\sqrt{P-p_3^2-p_4^2)}}}=s-C_2 \end{array} \right. $

вроде бы ни где не ошибся

[V.V.]

zhe писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{dp_3}{ds} = p_3(P-p_3^2-p_4^2) \\ \\ \displaystyle\frac{dp_4}{ds} = p_4(P-p_3^2-p_4^2) \\ \\ \end{array} \right. $
Здесь P некоторорая константа

Соответственно первые интегралы

$\displaystyle \frac{p_3}{p_4}=C_1 $
[skip]

вроде бы ни где не ошибся

Достаточно интеграла $p_3/p_4=C$. Подставляете $p_3=Cp_4$ в любое уравнение и интегрируете. Вот Вам и будет счастье!

[zhe]

вы не поверите но второй интеграл найден именно таким образом
просто я хотел понять правильно ли я мыслю только и всего