Эллипс как коническое сечение

[Metford]

Размещу тему здесь - а там посмотрим, как она пойдёт. Если пойдёт.

Предыстория.
Конические сечения - они на то и конические и сечения, что могут быть получены при пересечении конуса плоскостью. Факт бородатый, мягко говоря. Есть подход, в рамках которого эллипс, гиперболу и параболу можно вообще не считать различными кривыми: всё это эллипс, просто по-разному расположенный на проективной плоскости. И картинка с сечением конуса может помочь это проиллюстрировать. Ведь если взять секущую плоскость так, чтобы в сечении образовывалась окружность (конус берём круглый), а потом поворачивать эту плоскость, то окружность сначала станет эллипсом, который в некоторый момент (всем известный) превратится в параболу, а затем и в гиперболу. Но это всё слова, которые все слышали не раз, а можно ведь и посчитать.

История.
Собственно, предлагается взять конус

$$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=0$$

и плоскость, которая перпендикулярна оси конуса и проходит через его вершину. Эту плоскость будем поворачивать вокруг прямой, принадлежащей данной плоскости и не проходящей через вершину конуса. Угол поворота $\varphi$ считаем параметром в задаче. Предлагается рассчитать эксцентриситет получающегося эллипса, найти его фокусы, а затем убедиться, что в некотором пределе с эксцентриситетом и фокусами происходит то, что должно произойти для параболы. А можно продолжить и до гиперболы.

Мораль.
По-моему эту задачу хорошо бы задавать студентам на первом курсе, когда они проходят аналитическую геометрию. Формула для эксцентриситета получается симпатишно простая. Глядишь ещё и воображение у детишек поработает. Ну, и посмотрят хоть на задачу чуть-чуть посложнее, чем привести уравнение эллипса к каноническому виду.

В общем, можно высказываться по всем темам: приводить решения-ответы, комментировать методическую составляющую, жаловаться на отсутствие фантазии составителя задачи, вносить свои предложения.

[Munin]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1256641 писал(а):

конус берём круглый

Не обязательно круглый.

[Aritaborian]

Metford в сообщении #1256641 писал(а):

конус берём круглый

Munin в сообщении #1256653 писал(а):

Не обязательно круглый.

Metford, он же у вас по уравнению уже не круглый.

[Munin]

Aritaborian
Как же это? Некруглый был бы в случае уравнения $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0.$

[Aritaborian]

Munin, я точно злостно туплю? Прошу простить. Показалось, что и в этом случае не совсем круглый.

[Metford]

Aritaborian в сообщении #1256694 писал(а):

Metford, он же у вас по уравнению уже не круглый.

Круглее не будет Ну, попробуйте взять сечение любой плоскостью типа $z=\operatorname{const}$.

[Aritaborian]

Ну туплю — значит, туплю. Что ж поделать, бывает и хуже, согласитесь. Прошу простить.

[fred1996]

Metford
Спасибо за задачку.
Если честно, то возиться с коническими сечениями особо не приходилось.
В школе мы это вообще не проходили, а в университете в разделе аналитическая геометрия была простая теория. Типа как с помощью известных преобразований привести кривую второго порядка к каноническому виду. Причем это было даже не сечение, а просто функция двух переменных.
В Штатах школьники проходят в школе примерно ту же фигню.
То есть есть голословное утверждение что вот мол берем круговой конус и сечем. В сечении получаем обобщенный эллипс. А теперь на плоскости исследуем его эксцентриситенты и фокусы.

Так что лично мне задачки на сечения вообще никогда не приходилось.

Вторая мысля, которая пришла в голову, это просто найти точки пересечения прямых $z=(y-y_0)\tg\varphi$ и $z=\pm \frac ba y$. Это мы найдем координаты большой полуоси. Затем находим точку посередине - это будет центр эллипса, и подставить ее в уравнение эллипса, что нам даст координаты малой полуоси.

[Metford]

fred1996
У меня эллипс - любимец, можно сказать. Один из любимцев. За мной тут уже числится одна забавная задачка на этого персонажа. А этот расчёт, ну, он просто сам напрашивается. Думаю, что он в какой-нибудь книге всё-таки должен быть.

Но это лирика. Хотелось бы, чтобы хоть эксцентриситет кто-нибудь выписал

[kotenok gav]

Приду домой - посчитаю.

[wrest]

Metford в сообщении #1256840 писал(а):

Хотелось бы, чтобы хоть эксцентриситет кто-нибудь выписал

У меня вышло так: [del]
upd должно быть: $e=\sin \varphi \cdot \sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}+1}$

[Metford]

Ваше определение угла $\varphi$ согласовано с моим?

[wrest]

Metford в сообщении #1256857 писал(а):

Ваше определение угла $\varphi$ согласовано с моим?

У меня это угол между секущей плоскостью и осью конуса (т.е. ноль это когда плоскость параллельна оси конуса).
А, ну да, наши с вами углы отличаются, и тогда у меня в формуле будет синус вашего фи, а не косинус.

[Metford]

Да. Уж не знаю, будет ли кто положение фокусов искать, но к форме записи ответа дам комментарий. Тут удобно ввести угол $\varphi_0$, при котором в сечении получается парабола. Тогда в ответе на все вопросы задачи не останется параметров конуса $a$ и $b$.

[wrest]

Metford в сообщении #1256864 писал(а):

Тут удобно ввести угол $\varphi_0$, при котором в сечении получается парабола.

Парабола получается вроде бы когда $\varphi_0=\pi/2 - \arctg \frac ab$ (если я опять не перепутал острые углы в прямоугольном треугольнике).