2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 (Не?)существующая последовательность
Сообщение13.10.2017, 22:48 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Существует ли последовательность $\{a_n\}$ натуральных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:
а) в этой последовательности встречается каждое натуральное число и ровно один раз;
б) $a_1+a_2+\dots +a_n$ делится на $n^n$ для каждого $n=1, 2, 3, \dots ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не?)существующая последовательность
Сообщение13.10.2017, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Кажется, да.
Будем строить последовательность парами $a_{2k-1}$, $a_{2k}$. База индукции: 1, 3.
Пусть построен кусок последовательности до $a_{2k}$ включительно, его сумма равна $S_{2k}$, минимальное ещё НЕ использованное натуральное число — $m$, множество уже использованных чисел — $\mathbb{M}$.
Нам нужно найти такие $a_{2k+1}$, $a_{2k+2}$, чтобы $(2k+1)^{2k+1} | (S_{2k}+a_{2k+1})$, $(2k+2)^{2k+2} | (S_{2k}+a_{2k+1}+a_{2k+2})$. Сделаем это так, чтобы $a_{2k+1}$ не входило в $\mathbb{M}$, а $a_{2k+2}=m$. Это всегда можно сделать, поскольку числа $(2k+1)^{2k+1}$ и $(2k+2)^{2k+2}$ взаимно простые, а значит, уравнение $(2k+2)^{2k+2}x-(2k+1)^{2k+1}y=m$ имеет бесконечно много решений в натуральных $x$, $y$, в том числе сколь угодно больших, заведомо не входящих в $\mathbb{M}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не?)существующая последовательность
Сообщение13.10.2017, 23:29 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
worm2
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не?)существующая последовательность
Сообщение14.10.2017, 20:57 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Тут можно получить такой парадокс:

Ослабим условие а) до:
в) каждое число в последовательности встречается не более одного раза.

Рассмотрим лексикографически минимальную последовательность, удовлетворяющую условиям б) и в), и обозначим её $A$.

С одной стороны, из построения worm2, следует, что любую конечную последовательность, удовлетворяющую условиям б) и в), можно достроить до бесконечной последовательности, удовлетворяющей условиям а) и б). Отсюда индукцией по длине последовательности получаем, что $A$ также является лексикографически минимальной последовательностью, удовлетворяющей условиям а) и б).

В то же время, нетрудно проверить, что из определения $A$ следует, что это ничто иное как A007781 (со сдвигом индексов), которая не содержит, например, числа 2.

Где подвох?

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не?)существующая последовательность
Сообщение15.10.2017, 10:28 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
maxal в сообщении #1255670 писал(а):
Тут можно получить такой парадокс:
...

Это не парадокс, а софизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не?)существующая последовательность
Сообщение17.10.2017, 16:33 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Ktina, как ни назови, объяснения пока никто не предложил.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не?)существующая последовательность
Сообщение17.10.2017, 16:54 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
С чего вы взяли что $A$ существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не?)существующая последовательность
Сообщение17.10.2017, 19:49 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Null, нетрудно проверить, что $A =$ A007781.

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не?)существующая последовательность
Сообщение17.10.2017, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Наименьшей последовательности, удовлетворяющей а и б, не существует. (Последовательность A007781 является инфимумом, но не минимумом.)

 Профиль  
                  
 
 Re: (Не?)существующая последовательность
Сообщение17.10.2017, 21:36 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
RIP, ага. Я-то хотел её в OEIS добавить, а она оказалась эфемерной :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group