(Не?)существующая последовательность

[Ktina]

Существует ли последовательность $\{a_n\}$ натуральных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:
а) в этой последовательности встречается каждое натуральное число и ровно один раз;
б) $a_1+a_2+\dots +a_n$ делится на $n^n$ для каждого $n=1, 2, 3, \dots ?$

[worm2]

Кажется, да.
Будем строить последовательность парами $a_{2k-1}$, $a_{2k}$. База индукции: 1, 3.
Пусть построен кусок последовательности до $a_{2k}$ включительно, его сумма равна $S_{2k}$, минимальное ещё НЕ использованное натуральное число — $m$, множество уже использованных чисел — $\mathbb{M}$.
Нам нужно найти такие $a_{2k+1}$, $a_{2k+2}$, чтобы $(2k+1)^{2k+1} | (S_{2k}+a_{2k+1})$, $(2k+2)^{2k+2} | (S_{2k}+a_{2k+1}+a_{2k+2})$. Сделаем это так, чтобы $a_{2k+1}$ не входило в $\mathbb{M}$, а $a_{2k+2}=m$. Это всегда можно сделать, поскольку числа $(2k+1)^{2k+1}$ и $(2k+2)^{2k+2}$ взаимно простые, а значит, уравнение $(2k+2)^{2k+2}x-(2k+1)^{2k+1}y=m$ имеет бесконечно много решений в натуральных $x$, $y$, в том числе сколь угодно больших, заведомо не входящих в $\mathbb{M}$.

[Ktina]

worm2
Большое спасибо!

[maxal]

Тут можно получить такой парадокс:

Ослабим условие а) до:
в) каждое число в последовательности встречается не более одного раза.

Рассмотрим лексикографически минимальную последовательность, удовлетворяющую условиям б) и в), и обозначим её $A$.

С одной стороны, из построения worm2, следует, что любую конечную последовательность, удовлетворяющую условиям б) и в), можно достроить до бесконечной последовательности, удовлетворяющей условиям а) и б). Отсюда индукцией по длине последовательности получаем, что $A$ также является лексикографически минимальной последовательностью, удовлетворяющей условиям а) и б).

В то же время, нетрудно проверить, что из определения $A$ следует, что это ничто иное как A007781 (со сдвигом индексов), которая не содержит, например, числа 2.

Где подвох?

[Ktina]

maxal в сообщении #1255670 писал(а):

Тут можно получить такой парадокс:
...

Это не парадокс, а софизм.

[maxal]

Ktina, как ни назови, объяснения пока никто не предложил.

[Null]

С чего вы взяли что $A$ существует?

[maxal]

Null, нетрудно проверить, что $A =$ A007781.

[RIP]

Наименьшей последовательности, удовлетворяющей а и б, не существует. (Последовательность A007781 является инфимумом, но не минимумом.)

[maxal]

RIP, ага. Я-то хотел её в OEIS добавить, а она оказалась эфемерной