СТО. Преобразование тензора электромагнитного поля.

[misha.physics]

Здравствуйте. Хочу понять, почему у меня не получается осуществить преобразования Лоренца для тензора электромагнитного поля.

Рассмотрим две СО: $S$ и $S'$. $S'$ движеться относительно $S$ вдоль оси $Ox$.
Пусть в системе $S$ задан тензор эл. магн. поля:
$F^i_k=\begin{pmatrix} 0 & E^1/c & E^2/c & E^3/c \\ E^1/c & 0 & B^3 & -B^2 \\ E^2/c & -B^3 & 0 & B^1 \\ E^3/c & B^2 & -B^1 & 0 \end{pmatrix}$
Нужно записать етот тензор в системе $S'$.
Записываю:
$F^{i'}_{k'}=A^{k}_{k'}A^{i'}_{i}F^{i}_{k}$ (1)
Нужно записать матрицы $A^{k}_{k'}$ и $A^{i'}_{i}$.
Вторая матрица преобразовывает контравариантный индекс при переходе от нештрихованной СО к штрихованной. Я знаю как преобразовываются при етом компоненты 4-вектора. С помощью матрицы:
$A^{i'}_i=\begin{pmatrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Первая матрица преобразовывает ковариантный индекс, значит ета матрица преобразовывает и базис, и у меня получается, что ета матрица преобразовывет компоненты 4-вектора от нового базиса к старому. Значит ета матрица $A^k_{k'}$ обратная матрице $A^{i'}_i$.
$A^{i'}_i=\begin{pmatrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0\\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Теперь считаю верхний индекс строчкой, нижний - столбцом, разписываю какой-то елемент $F^{i'}_{k'}$. Но ничего не изменяется. $F^{i'}_{k'}$=$F^{i}_{k}$. Но это как-бы понятно, так как у нас в формуле (1) две взаимно обратные матрицы. Но где все таки ошибка? В связи с этим, у меня вопросы:
1) Можно ли имея дело с любым тензором валентности два (с компонентами $a_{ik}$ или $a^{ik}$ или $a^i_k$) считать его представленным матрицей и договориться какой индекс означает строку, а какой столбец?
2) Можно ли записать выражение (1) в матричном виде? Где-то видел, как записываются три матрицы подряд, причем по краям стоят "родственные" матрицы, а в середине та матрица которую преобразовываем.
3) Как все-таки получить правильные формулы, типа $E_{y'}=\frac{E_y-\beta B_z}{\sqrt{1-\beta ^2}}$ и т.д.?

[Metford]

misha.physics в сообщении #1256227 писал(а):

Но это как-бы понятно, так как у нас в формуле (1) две взаимно обратные матрицы.

У них индексы не свёрнуты, так что ничего это не значит. Так Вы сейчас запретите преобразование любого тензора смешанного типа второй валентности.
Я сейчас посмотрю повнимательнее Ваши выкладки (фактически проведу их сам), потом скажу. Но пока что мне странно, что у Вас не преобразовался тензор.

misha.physics в сообщении #1256227 писал(а):

Можно ли имея дело с любым тензором валентности два (с компонентами $a_{ik}$ или $a^{ik}$ или $a^i_k$) считать его представленным матрицей и договориться какой индекс означает строку, а какой столбец?

Можно.

misha.physics в сообщении #1256227 писал(а):

Как все-таки получить правильные формулы, типа $E_{y'}=\frac{E_y-\beta B_z}{\sqrt{1-\beta ^2}}$ и т.д.?

Либо так, как Вы делали, либо как показано у Ландау во втором томе.

Кстати, а у напряжённости электрического поля действительно есть множитель со скоростью света?

Upd. Так. Вроде бы всё нормально получается.

[misha.physics]

Metford, спасибо за ваше внимание. Да, согласен у матриц преобразований индексы не свернуты, возле них есть еще один тензор. Просто меня удивило когда я считал, например E_{y'}$ то получил тот же $E_y$. Вот я и подумал что взаимная обратность матриц проникает сюда. Но все-таки где-то я ошибаюсь.

Думаю, ето из-за системы единиц СИ появляется скорость света. Так как в ней напряженность ел. поля и индукция магн. поля имеют разные размерности.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1256247 писал(а):

Думаю, ето из-за системы единиц СИ появляется скорость света.

Вы в СИ считаете...

(Сходил за валидолом, принял, слегка полегчало...)

misha.physics в сообщении #1256247 писал(а):

Просто меня удивило когда я считал, например E_{y'}$ то получил тот же $E_y$.

Ну, для $x$-компонент так и будет. А с другими - пересчитайте. По идее должно получиться. Я не предлагаю выписывать сюда формулы: громоздко будет.

[misha.physics]

Да дело в том, что я этот тензор не сам выписал, а взял уже готовый :) Просто решил проверить выкладки, которые были опущены.

Завтра пересчитаю. Главное чтобы матрицы, которые я выписал были правильные. $x-$ компоненты были равны, но вот другие меня смутили.

[misha.physics]

Прошу прощения, все получилось.
Просто я тогда считал только две компоненты: сначала $E_x^{'}$, получилось правильно $E_x^{'}=E_x$, потом решил выбрать что-то не $x-$совое и выбрал $B^{1'}$ , а теперь присмотрелся, что ето и есть $B_x$ . А $B_x^{'}=B_x$.
Вот такие иногда у меня бывают казусы.

[maximav]

misha.physics в сообщении #1256227 писал(а):

Хочу понять, почему у меня не получается осуществить преобразования Лоренца для тензора электромагнитного поля

Тут все просто. Вы сначала договоритесь с самим собой, как вы превращаете вашу формулу (1) в форму матриц. То есть правило организации всех индексных значков там в ту табличку, которая вам нравится и вы хотите смотреть на нее, называя матрицой. Сделали это, причем и для $A_j^k$ и для $F_j^k$. Честно, аккуратно и правило едино для всех $A$- и $F$-объектов. Потом тупо вычисляете 16 чисел для $F'$. Здесь важно именно "просто набор чисел". А потом также аккуратно, по вашему же правилу, компонуете этот сброд из 16-ти чисел в любимую вами матрицу. Так вот, какое бы правило компоновки вы не сочините, если все сделаете аккуратно, всегда будете получать только правильный ответ и тензор $F$ у вас будет меняться, как положено. А теперь коротко: тензор $F$ - это элемент векторного пространства, закон преобразования его компонент - линейный и не важно каким способом вы будете организовывать его в таблички, треугольники, строчки $2\times 8$, столбцы, колонки парами $8\times 2$, красить цветом и т.д.

[EUgeneUS]

Metford

((Сходил за валидолом, принял, слегка полегчало...))

Валидол - плацебо, мятные конфетки.
Если что - принимайте нитроглицерин.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1256346 писал(а):

Вот такие иногда у меня бывают казусы.

Со всеми случается. Главное, что всё получилось. Кстати, любопытства ради могли бы попробовать ещё упражнение похитрее. Мне в своё время очень помогло понять одну вещь важную. Таким манером можно вывести преобразование полей в общем случае, когда оси обеих систем расположены произвольным образом по отношению друг к другу.

EUgeneUS

(Оффтоп)

Во-первых, для СИ и так сойдёт, а во-вторых, я принимаю подобные рекомендации исключительно от людей, отягощённых медицинским образованием.

[EUgeneUS]

Metford

(мнение человека с медицинским образованием)

Про валидол в самом начале раздела

[Metford]

EUgeneUS

(Оффтоп)

Да мало ли кто что в интернете пишет. Тем более местами в таком игривом тоне. Предлагаю оффтоп закончить. В конце концов, какая разница, чем я себя травлю, особенно применительно к преобразованию тензора поля.

[misha.physics]

maximav, спасибо, вы отлично прояснили мне етот момент (нюанс). Я уже тоже начал догадываться, что можно установить свое правило для представления тензоров, но ето правило должно быть применительно для всех тензоров. Но о линейности и т.д. я как-то не думал.

Metford, если я правильно понял, то вы имеете ввиду написать прямую и обратную матрицы преобразований Лоренца для произвольной ориентации осей двух систем отсчета движущихся друг онтосительно друга. А потом по той же формуле (1) посчитать как изменяется тензор поля... Надо будет как-то сделать на досуге.

[Metford]

Да, Вы верно поняли. Соответствующие формулы выписываются в литературе не так повсеместно, как те, которые Вы перепроверяли. А уж преобразование компонент поля для этого случая я, кажется, нигде не видел в книгах.