fizikahimiyaaРазные массы возникали из-за желания сохранить простые записи уже известных формул механики, например в гравитации, потому что оказалось что покоящийся и такой же быстро движущийся объект притягиваются немного по разному, а формула

проста и удобна и не хотелось от неё отказываться или усложнять. Вот и попытались засунуть туда (и не только туда) некую
другую массу чтобы в остальном всё осталось как было. Но в итоге это так и не привело к упрощению, сильно запуталось в других местах.
Потому решили оставить понятие массы более простым и единственным и главное
инвариантным (а это очень ценное свойство!), ну а старые простые формулы считать приближёнными, точные же стали сложнее (как например с энергией выше).
1) у фотона нет массы
Тут вопрос терминологии, можно ли равенство

называть словами "нет массы". Вам выше
сказали что не стоит, лучше говорить "фотон имеет нулевую муассу".
2) Есть масса если два фотона летят в разное направление
Тоже не так, это будет та самая "неправильная" масса, от использования которой отказались. Просто такая
система, из двух (и более) фотонов, будет в некотором смысле (экспериментах) вести себя как объект обладающий массой. Но в современной терминологии это не масса, а энергия (формула же

всё равно неприменима!).
3) По формуле Эйнштейна не посчитать энергию фотона, зато по Планковской это дело можно посчитать
Если под формулой Эйнштейна понимать правильную формулу

, то вполне посчитать, через импульс фотона, масса у него всё равно нулевая.
Забудьте о приближённой формуле в применении к фотонам и вообще любым релятивистским частицам!
4) Понятие массы запутали, но лично для меня пока нет представлений , что может быть какая- то другая масса. Для меня она одна.
Так вот вас как раз и распутали, у физиков теперь тоже масса ровно одна. Правда она совпадает с вашей только для неподвижных тел и объектов (фотон же в этот список не входит!). Для быстро движущихся тел ваша масса будет больше за счёт ненулевого импульса, он тоже будет "давить". Для фотона давить вообще будет лишь его импульс, а масса так и останется нулевой, в отличии от вашей. Но в быту мы не сталкиваемся с релятивистскими частицами и их давлением (давление фотонов в быту слишком мало), потому и можно пользоваться приближённым понятием массы. Но не перенося это бытовое понятие на всю физику! Привыкайте что физика сложнее бытовых понятий.
6) Масса покоя = обычная повседневная человеческая масса?
Да. И называется оно просто массой.
Но не всё может покоиться (фотон не может), потому не у всех

.