Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)

[TOKIO]

Вычислить интеграл по контурам $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ используя интегральную формулу Коши, теорему Коши.

$$\int\limits_{L}^{}\frac{z^{4}+1}{(z^{2}+1)(z-i)}dz; L_{1}:\left\lvert z+2i\right\rvert=2; L_{2}:\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1; L_{3}:\left\lvert z-2\right\rvert=1$$

На сколько я понимаю сначала нужно найти особые точки в которых функция не аналитична.
Я нашёл только одну $z=i$
Затем нужно построить график с контурами, но я не совсем понимаю как это сделать.

[teleglaz]

TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):

Я нашёл только одну $z=i$

Это не так.

[Metford]

TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):

Затем нужно построить график с контурами, но я не совсем понимаю как это сделать.

Ну, наверное, второй контур проблем не вызывает, да?
А в первом и третьем случае можно сделать всё формально, расписывая $z=x+iy$ и проводя выкладки, или сообразить с геометрических позиций, скажем так. Вот если бы не прибавлялось $2i$, Вы бы знали, что это за контур?

TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):

Я нашёл только одну $z=i$

Как Вы её искали?

[TOKIO]

Metford в сообщении #1255115 писал(а):

TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):

Затем нужно построить график с контурами, но я не совсем понимаю как это сделать.

Ну, наверное, второй контур проблем не вызывает, да?
А в первом и третьем случае можно сделать всё формально, расписывая $z=x+iy$ и проводя выкладки, или сообразить с геометрических позиций, скажем так. Вот если бы не прибавлялось $2i$, Вы бы знали, что это за контур?

TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):

Я нашёл только одну $z=i$

Как Вы её искали?

Немного разобрался. Второй контур это эллипс с границами по иксу $-1$ и $+1$ а по игреку $-4$ и $+4$. Первый контур окружность с центром в точке $(0;-2)$ и радиусом $2$. Третий контур окружность с центром в точке $(2;0)$ и радиусом $1$.
Нашёл ещё две особые точки $z=1$ и $z=-1$
Искал точки приравнивая скобки из знаменателя подынтегральной функции к нулю и выделяя $z$

[Cash]

TOKIO в сообщении #1255615 писал(а):

Нашёл ещё две особые точки $z=1$ и $z=-1$
Искал точки приравнивая скобки из знаменателя подынтегральной функции к нулю и выделяя $z$

$(z^2+1)(z-i)=0$
Подставляем $z=1$: $(1+1)(1-i)=2-2i \ne 0 $

TOKIO в сообщении #1255615 писал(а):

Второй контур это эллипс с границами по иксу $-1$ и $+1$ а по игреку $-4$ и $+4$.

И здесь внимательней...

[Metford]

TOKIO
С эллипсом Вы, действительно, неаккуратно обошлись.

TOKIO в сообщении #1255615 писал(а):

Искал точки приравнивая скобки из знаменателя подынтегральной функции к нулю и выделяя $z$

Ну, во-первых, точки Вы приобрели лишние, как Вам убедительно доказали выше. А во-вторых, строго говоря, маловато будет смотреть на обращение в нуль знаменателя - нужно ещё смотреть, как при этом себя ведёт числитель. Здесь это неактуально, но обычно посматривать за этим нужно.

[ewert]

Metford в сообщении #1255717 писал(а):

строго говоря, маловато будет смотреть на обращение в нуль знаменателя - нужно ещё смотреть, как при этом себя ведёт числитель

Говоря ещё строже, это желательно, но вовсе не обязательно. При неучёте нулей числителя понадобится лишь больше работы, но ответ окажется правильным.

[TOKIO]

Metford в сообщении #1255717 писал(а):

С эллипсом Вы, действительно, неаккуратно обошлись.

По игреку будет $-2$ и $+2?$ Квадраты в формуле не заметил.

[ewert]

TOKIO в сообщении #1255778 писал(а):

По игреку будет $-2$ и $+2?$

Будет, но несколько проще использовать не рисунки, а неравенства, задающие внутренности контуров. И, кстати, Вы зачем-то так и не нашли второй полюс.

[TOKIO]

Metford в сообщении #1255717 писал(а):

Ну, во-первых, точки Вы приобрели лишние, как Вам убедительно доказали выше. А во-вторых, строго говоря, маловато будет смотреть на обращение в нуль знаменателя - нужно ещё смотреть, как при этом себя ведёт числитель. Здесь это неактуально, но обычно посматривать за этим нужно.

Получается что особая точка одна $z=i$? Числитель тоже обращается в $0$ при её подставлении.

-- 15.10.2017, 14:58 --

TOKIO в сообщении #1255781 писал(а):

Будет, но несколько проще использовать не рисунки, а неравенства, задающие внутренности контуров. И, кстати, Вы зачем-то так и не нашли второй полюс.

Я не знаю как составлять эти неравенства. И я не понял какой второй полюс?

[fred1996]

TOKIO
У вас знаменатель - полином третьей степени. Значит он имеет три комплексных корня, если считать кратность, а не один как у вас.

[Metford]

TOKIO в сообщении #1255781 писал(а):

Числитель тоже обращается в $0$ при её подставлении.

Правда?
И ещё вопрос вдогонку. Вдруг поможет... Вот Вы когда уравнение, например, $x^2=4$ решаете, то что в ответе получается?

ewert в сообщении #1255775 писал(а):

При неучёте нулей числителя понадобится лишь больше работы, но ответ окажется правильным.

В общем, я именно об этом. А так, Вы правы, конечно.

[ewert]

TOKIO в сообщении #1255781 писал(а):

Я не знаю как составлять эти неравенства.

Видите ли, если граница области задаётся некоторым уравнением, то сама область задаётся соответствующим неравенством. Как и её внешность. И остаётся лишь проверить, выполняются ли эти неравенства для данной точки. Просто подставив точку в неравенства.

[TOKIO]

Metford в сообщении #1255856 писал(а):

Правда?

Нет не правда. Получается двойка. Только я не знаю что это даёт.

-- 17.10.2017, 18:05 --

Metford в сообщении #1255856 писал(а):

И ещё вопрос вдогонку. Вдруг поможет... Вот Вы когда уравнение, например, $x^2=4$ решаете, то что в ответе получается?

$x_1=2; x_2=-2$

-- 17.10.2017, 18:15 --

Metford в сообщении #1255856 писал(а):

И ещё вопрос вдогонку. Вдруг поможет... Вот Вы когда уравнение, например, $x^2=4$ решаете, то что в ответе получается?

Вы хотите сказать что $z^2=-1$ имеет корни $z_1=i$ и $z_2=-i$ ?

[Metford]

TOKIO в сообщении #1256344 писал(а):

Вы хотите сказать что $z^2=-1$ имеет корни $z_1=i$ и $z_2=-i$ ?

Да!

TOKIO в сообщении #1256344 писал(а):

Только я не знаю что это даёт.

Это просто-напросто говорит о том, что выше Вы сделали ошибочное утверждение.