2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение12.10.2017, 15:55 


22/10/16
6
Вычислить интеграл по контурам $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ используя интегральную формулу Коши, теорему Коши.
$$\int\limits_{L}^{}\frac{z^{4}+1}{(z^{2}+1)(z-i)}dz; L_{1}:\left\lvert z+2i\right\rvert=2; L_{2}:\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1; L_{3}:\left\lvert z-2\right\rvert=1$$
На сколько я понимаю сначала нужно найти особые точки в которых функция не аналитична.
Я нашёл только одну $z=i$
Затем нужно построить график с контурами, но я не совсем понимаю как это сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение12.10.2017, 15:59 


16/08/17
21
TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):
Я нашёл только одну $z=i$

Это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение12.10.2017, 16:23 
Заслуженный участник


06/04/13
1519
Москва
TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):
Затем нужно построить график с контурами, но я не совсем понимаю как это сделать.

Ну, наверное, второй контур проблем не вызывает, да?
А в первом и третьем случае можно сделать всё формально, расписывая $z=x+iy$ и проводя выкладки, или сообразить с геометрических позиций, скажем так. Вот если бы не прибавлялось $2i$, Вы бы знали, что это за контур?
TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):
Я нашёл только одну $z=i$

Как Вы её искали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение14.10.2017, 12:29 


22/10/16
6
Metford в сообщении #1255115 писал(а):
TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):
Затем нужно построить график с контурами, но я не совсем понимаю как это сделать.

Ну, наверное, второй контур проблем не вызывает, да?
А в первом и третьем случае можно сделать всё формально, расписывая $z=x+iy$ и проводя выкладки, или сообразить с геометрических позиций, скажем так. Вот если бы не прибавлялось $2i$, Вы бы знали, что это за контур?
TOKIO в сообщении #1255112 писал(а):
Я нашёл только одну $z=i$

Как Вы её искали?

Немного разобрался. Второй контур это эллипс с границами по иксу $-1$ и $+1$ а по игреку $-4$ и $+4$. Первый контур окружность с центром в точке $(0;-2)$ и радиусом $2$. Третий контур окружность с центром в точке $(2;0)$ и радиусом $1$.
Нашёл ещё две особые точки $z=1$ и $z=-1$
Искал точки приравнивая скобки из знаменателя подынтегральной функции к нулю и выделяя $z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение14.10.2017, 14:49 
Заслуженный участник


12/09/10
1492
TOKIO в сообщении #1255615 писал(а):
Нашёл ещё две особые точки $z=1$ и $z=-1$
Искал точки приравнивая скобки из знаменателя подынтегральной функции к нулю и выделяя $z$


$(z^2+1)(z-i)=0$
Подставляем $z=1$: $(1+1)(1-i)=2-2i \ne 0 $

TOKIO в сообщении #1255615 писал(а):
Второй контур это эллипс с границами по иксу $-1$ и $+1$ а по игреку $-4$ и $+4$.

И здесь внимательней...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение15.10.2017, 00:29 
Заслуженный участник


06/04/13
1519
Москва
TOKIO
С эллипсом Вы, действительно, неаккуратно обошлись.
TOKIO в сообщении #1255615 писал(а):
Искал точки приравнивая скобки из знаменателя подынтегральной функции к нулю и выделяя $z$

Ну, во-первых, точки Вы приобрели лишние, как Вам убедительно доказали выше. А во-вторых, строго говоря, маловато будет смотреть на обращение в нуль знаменателя - нужно ещё смотреть, как при этом себя ведёт числитель. Здесь это неактуально, но обычно посматривать за этим нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение15.10.2017, 11:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31198
Metford в сообщении #1255717 писал(а):
строго говоря, маловато будет смотреть на обращение в нуль знаменателя - нужно ещё смотреть, как при этом себя ведёт числитель

Говоря ещё строже, это желательно, но вовсе не обязательно. При неучёте нулей числителя понадобится лишь больше работы, но ответ окажется правильным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение15.10.2017, 11:44 


22/10/16
6
Metford в сообщении #1255717 писал(а):
С эллипсом Вы, действительно, неаккуратно обошлись.

По игреку будет $-2$ и $+2?$ Квадраты в формуле не заметил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение15.10.2017, 11:49 
Заслуженный участник


11/05/08
31198
TOKIO в сообщении #1255778 писал(а):
По игреку будет $-2$ и $+2?$

Будет, но несколько проще использовать не рисунки, а неравенства, задающие внутренности контуров. И, кстати, Вы зачем-то так и не нашли второй полюс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение15.10.2017, 11:55 


22/10/16
6
Metford в сообщении #1255717 писал(а):
Ну, во-первых, точки Вы приобрели лишние, как Вам убедительно доказали выше. А во-вторых, строго говоря, маловато будет смотреть на обращение в нуль знаменателя - нужно ещё смотреть, как при этом себя ведёт числитель. Здесь это неактуально, но обычно посматривать за этим нужно.

Получается что особая точка одна $z=i$? Числитель тоже обращается в $0$ при её подставлении.

-- 15.10.2017, 14:58 --

TOKIO в сообщении #1255781 писал(а):
Будет, но несколько проще использовать не рисунки, а неравенства, задающие внутренности контуров. И, кстати, Вы зачем-то так и не нашли второй полюс.

Я не знаю как составлять эти неравенства. И я не понял какой второй полюс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение15.10.2017, 14:25 
Аватара пользователя


09/10/15
1542
San Jose, USA
TOKIO
У вас знаменатель - полином третьей степени. Значит он имеет три комплексных корня, если считать кратность, а не один как у вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение15.10.2017, 17:57 
Заслуженный участник


06/04/13
1519
Москва
TOKIO в сообщении #1255781 писал(а):
Числитель тоже обращается в $0$ при её подставлении.

Правда?
И ещё вопрос вдогонку. Вдруг поможет... Вот Вы когда уравнение, например, $x^2=4$ решаете, то что в ответе получается?
ewert в сообщении #1255775 писал(а):
При неучёте нулей числителя понадобится лишь больше работы, но ответ окажется правильным.

В общем, я именно об этом. А так, Вы правы, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение16.10.2017, 11:09 
Заслуженный участник


11/05/08
31198
TOKIO в сообщении #1255781 писал(а):
Я не знаю как составлять эти неравенства.

Видите ли, если граница области задаётся некоторым уравнением, то сама область задаётся соответствующим неравенством. Как и её внешность. И остаётся лишь проверить, выполняются ли эти неравенства для данной точки. Просто подставив точку в неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение17.10.2017, 15:03 


22/10/16
6
Metford в сообщении #1255856 писал(а):
Правда?

Нет не правда. Получается двойка. Только я не знаю что это даёт.

-- 17.10.2017, 18:05 --

Metford в сообщении #1255856 писал(а):
И ещё вопрос вдогонку. Вдруг поможет... Вот Вы когда уравнение, например, $x^2=4$ решаете, то что в ответе получается?

$x_1=2;  x_2=-2$

-- 17.10.2017, 18:15 --

Metford в сообщении #1255856 писал(а):
И ещё вопрос вдогонку. Вдруг поможет... Вот Вы когда уравнение, например, $x^2=4$ решаете, то что в ответе получается?

Вы хотите сказать что $z^2=-1$ имеет корни $z_1=i$ и $z_2=-i$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл по контурам (ТФКП)
Сообщение17.10.2017, 15:32 
Заслуженный участник


06/04/13
1519
Москва
TOKIO в сообщении #1256344 писал(а):
Вы хотите сказать что $z^2=-1$ имеет корни $z_1=i$ и $z_2=-i$ ?

Да!
TOKIO в сообщении #1256344 писал(а):
Только я не знаю что это даёт.

Это просто-напросто говорит о том, что выше Вы сделали ошибочное утверждение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: fred1996


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group