Размерность пространства решений

[ThinkThink]

Всем доброго времени суток.
Читая Кострикина не понял доказательство теоремы о размерности пространства решений:

Цитата:

\textit{V_A} = \langle X \in \mathbb {R}^n \mid AX = 0 \rangle \subset \mathbb {R}^n.
Пусть $s = \dim V_A, r = \operatorname{rank} A, $ тогда $r + s = n.$
Доказательство. Выберем базис $X^{(1)},...,X^{(s)}$ линейной оболочки $\textit{V_A}$ и дополним его до базиса $X^{(1)},...,X^{(s)},X^{(s+1)},...,X^{(n)}$ всего пространства $\mathbb {R}^n$. Для любого вектора $X = \sum^{n}_{i=1} {\alpha_iX^i \in \mathbb {R}^n}$ имеем

$$ AX = \sum^{n}_{i=1} {\alpha_iAX^{(i)} = \alpha_{s+1}AX^{(s+1)} + ... + \alpha_nAX^{(n)}} $$

...

и совсем не понимаю последнее равенство: куда мы выкинули первые s слагаемых справа?

UPD: Пока набирал доказательство, дошло: в первых $s$ слагаемых $X^{(i)}$ принадлежат базису линейной оболочки $V_A$, а значит эти столбцы, будучи помноженными на $A$, обнулятся, ибо мы так и определили $V_A$. В упор не видел! Вопрос закрыт.

[VAL]

А где в выделенном равенстве Вы увидели разложение вектора $X$? Там фигурирует вектор $AX$.

[ThinkThink]

Да, но это все равно не вносит ясности в мою голову, мы суммировали от 1 до n, а написали справа только последние n-s слагаемых. Я не понимаю откуда это появилось, я явно чего-то не знаю/что-то упустил.

[VAL]

ThinkThink в сообщении #1255302 писал(а):

Я не понимаю откуда это появилось,

Скорее, не появилось, а исчезло. В смысле, обнулилось.

[kotenok gav]

А что с картинкой?

[ThinkThink]

VAL в сообщении #1255307 писал(а):

ThinkThink в сообщении #1255302 писал(а):

Я не понимаю откуда это появилось,

Скорее, не появилось, а исчезло. В смысле, обнулилось.

Ну да, вот я как раз не понимаю, почему базисные столбцы линейной оболочки А обнулились при умножении на Х :(

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы), в данном случае без вставки картинки вполне можно обойтись.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.