Вычисление расстояния от точки до стороны в барицент. коорд.

[Rusit8800]

Картина
Пусть дан треугольник $ABC$ и точка $P(p_1,p_2,p_3)$ внутри него. Нужно вычислить расстояние от $P$ до $AB$, то есть $PC_1$. Для этого вычислим координаты точки $C_1$. Ясно, что третья ее координата равна $0$. Найдем все остальные. Поскольку все барицентрические координаты нормированы, то

$$q_1+q_2=0$$

Распишем координаты "нужных" векторов:

$$\overrightarrow {AB}(-1,1,0)$$

$$\overrightarrow {PC_1}(q_1-p_1,q_2-p_2,-p_3)$$

Далее запишем критерий коллинеарности векторов:

$$\[ - {a^2}{p_3} + {b^2}{p_3} + {c^2}({q_1} - {q_1} + {p_2} - {p_1}) = 0\]$$

Получим

$$\[{q_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}{p_3} - {b^2}{p_3} + {c^2}{p_1} - {c^2}{p_2}}}{{{c^2}}}\]$$

$$\[{q_2} =- \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}{p_3} - {b^2}{p_3} + {c^2}{p_1} - {c^2}{p_2}}}{{{c^2}}}\]$$

Далее, если $x=q_1-p_1$,$y=q_2-p_2$,$z=-p_3$, то $PC_1=\[\sqrt { - {a^2}yz - {b^2}xz - {c^2}xy} \]$, значит

$$PC_1=\[\frac{1}{2}\sqrt { - \frac{{\left( {({p_1} + {p_2}){c^2} + {p_3}{{(a - b)}^2}} \right)\left( {({p_1} + {p_2}){c^2} + {p_3}{{(a + b)}^2}} \right)}}{{{c^2}}}} \]$$

Здесь с формулой возникают проблемы, потому что если подставить $p_1=p_2=0$ и $p_3=1$, то $P=C$, и мы должны получить длину высоты на сторону $AB$. Но мы получаем следующее:

$$\[\frac{1}{2}\sqrt { - \frac{{{{(a - b)}^2}{{(a + b)}^2}}}{{{c^2}}}} \]$$

Выражение получается комплексным, поэтому где-то должна быть ошибка, хотя это странно, так как я решал задачу с помощью Maple. Вот код:

solve({q[1]+q[2] = 0, -a^2*p[3]+b^2*p[3]+c^2*(q[1]-q[2]+p[2]-p[1]) = 0}, {q[1], q[2]});

x := (1/2)*(a^2*p[3]-b^2*p[3]+c^2*p[1]-c^2*p[2])/c^2-p[1]; y := -(1/2)*(a^2*p[3]-b^2*p[3]+c^2*p[1]-c^2*p[2])/c^2-p[2]; z := -p[3]; l[c] := simplify(sqrt(-a^2*y*z-b^2*x*z-c^2*x*y))

[slavav]

$q_1 + q_2 = 0$ ???

-- 12.10.2017, 20:22 --

Добавлю что можно использовать линейность барицентрических координат и избежать многих сложностей.

[Dmitriy40]

Rusit8800 в сообщении #1255181 писал(а):

Поскольку все барицентрические координаты нормированы, то

$$q_1+q_2=0$$

Вот это непонятно, ведь и $q_1$ и $q_2$ положительны (и в интервале $(0;1)$), а сумма почему-то равна нулю? Может тут $=1$ должно быть?

[slavav]

Rusit8800, коллинеарность каких векторов вы использовали?

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1255186 писал(а):

$q_1 + q_2 = 0$ ???

Ой. Равно $1$

slavav в сообщении #1255188 писал(а):

коллинеарность каких векторов вы использовали?

Ой. Перпендикулярность. Но записано уравнение перпендикулярности.

-- 12.10.2017, 20:42 --

Правильный ответ такой:

$$ \[\frac{1}{2}\sqrt { - \frac{{\left( {\left( {{p_1} + {p_2} - 1} \right){c^2} + {p_3}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \right)\left( {\left( {{p_1} + {p_2} - 1} \right){c^2} + {p_3}{{\left( {a + b} \right)}^2}} \right)}}{{{c^2}}}} \]$$

-- 12.10.2017, 20:43 --

Если подставить координаты $C$, то получится

$$\[\frac{1}{2}\sqrt { - \frac{{\left( { - b + a - c} \right)\left( { - b + a + c} \right)\left( {b + a + c} \right)\left( {b + a - c} \right)}}{{{c^2}}}} \]$$

а это длина высоты.

[slavav]

Ваш ответ упрощается. Можно убрать упоминания $p_1$ и $p_2$. И это будет хорошо, указанное расстояние зависит только от $p_3$. А ещё выявится некая линейность.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1255195 писал(а):

Ваш ответ упрощается. Можно убрать упоминания $p_1$ и $p_2$. И это будет хорошо, указанное расстояние зависит только от $p_3$. А ещё выявится некая линейность.

Неужели эта штука будет зависеть только от $p_3$? Это вроде видно, а поверить я в это не могу.

[slavav]

А вы подставьте. Да вынесите $p_3$ из под корня. Это красиво.

-- 12.10.2017, 21:22 --

Хотя из вашего вывода этого не следует, формула, которую вы получите, будет работать по всей плоскости, задавая расстояние до прямой со знаком.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1255199 писал(а):

Хотя из вашего вывода этого не следует, формула, которую вы получите, будет работать по всей плоскости, задавая расстояние до прямой со знаком.

Мне только внутри треугольника надо.

-- 12.10.2017, 21:59 --

$${l_c} = \frac{{{p_3}}}{2}\sqrt { - \frac{{\left( {{c^2} + {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right)\left( {{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}} \right)}}{{{c^2}}}} $$

-- 12.10.2017, 22:00 --

Опять этот дурацкий знак $-$ под корнем. Он же делает выражение комплексным.

[slavav]

Вы перепутали знаки перед $c^2$.

Она и внутри треугольника работать будет.
Барицентрическая координата (одна) - это линейная функция продолженная с вершин треугольника на всю плоскость. В двух вершинах она равна нулю, в третьей - единице. Расстояние от прямой со знаком - это некоторая нетривиальная линейная функция на плоскости, которая равна нулю на прямой. Отсюда сразу следует что они пропорциональны. А коэффициент пропорциональности вы почти уже вывели.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1255217 писал(а):

Вы перепутали знаки перед $c^2$.

Ой.

-- 12.10.2017, 22:16 --

Тогда так

$${l_c} = \frac{{{p_3}}}{2}\sqrt {\frac{{\left( {{c^2} - \;{{\left( {a - b} \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}} \right)}}{{{c^2}}}} $$

[slavav]

Так лучше. Теперь неравенство треугольника (применять два раза) гарантирует нам знак под корнем. Дело сделано.

[Rusit8800]

Отлично, спасибо.