КартинаПусть дан треугольник

и точка

внутри него. Нужно вычислить расстояние от

до

, то есть

. Для этого вычислим координаты точки

. Ясно, что третья ее координата равна

. Найдем все остальные. Поскольку все барицентрические координаты нормированы, то

Распишем координаты "нужных" векторов:

Далее запишем критерий коллинеарности векторов:
![$$\[ - {a^2}{p_3} + {b^2}{p_3} + {c^2}({q_1} - {q_1} + {p_2} - {p_1}) = 0\]$$ $$\[ - {a^2}{p_3} + {b^2}{p_3} + {c^2}({q_1} - {q_1} + {p_2} - {p_1}) = 0\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/a/35a38c0fc3002a3aa9c4f739fd8d3cf982.png)
Получим
![$$\[{q_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}{p_3} - {b^2}{p_3} + {c^2}{p_1} - {c^2}{p_2}}}{{{c^2}}}\]$$ $$\[{q_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}{p_3} - {b^2}{p_3} + {c^2}{p_1} - {c^2}{p_2}}}{{{c^2}}}\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/9/7e9772ad239960b1b71c01896b49130082.png)
![$$\[{q_2} =- \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}{p_3} - {b^2}{p_3} + {c^2}{p_1} - {c^2}{p_2}}}{{{c^2}}}\]$$ $$\[{q_2} =- \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}{p_3} - {b^2}{p_3} + {c^2}{p_1} - {c^2}{p_2}}}{{{c^2}}}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/1/6f1dd1bc48d0ee413c9e31ceb17bbee182.png)
Далее, если

,

,

, то
![$PC_1=\[\sqrt { - {a^2}yz - {b^2}xz - {c^2}xy} \]$ $PC_1=\[\sqrt { - {a^2}yz - {b^2}xz - {c^2}xy} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/e/b1e7660fc04073a53ca04b3b90f6dfb482.png)
, значит
![$$PC_1=\[\frac{1}{2}\sqrt { - \frac{{\left( {({p_1} + {p_2}){c^2} + {p_3}{{(a - b)}^2}} \right)\left( {({p_1} + {p_2}){c^2} + {p_3}{{(a + b)}^2}} \right)}}{{{c^2}}}} \]$$ $$PC_1=\[\frac{1}{2}\sqrt { - \frac{{\left( {({p_1} + {p_2}){c^2} + {p_3}{{(a - b)}^2}} \right)\left( {({p_1} + {p_2}){c^2} + {p_3}{{(a + b)}^2}} \right)}}{{{c^2}}}} \]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/1/2811cdad2ce4fa9209e6fc834821d0e782.png)
Здесь с формулой возникают проблемы, потому что если подставить

и

, то

, и мы должны получить длину высоты на сторону

. Но мы получаем следующее:
![$$\[\frac{1}{2}\sqrt { - \frac{{{{(a - b)}^2}{{(a + b)}^2}}}{{{c^2}}}} \]$$ $$\[\frac{1}{2}\sqrt { - \frac{{{{(a - b)}^2}{{(a + b)}^2}}}{{{c^2}}}} \]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/b/6cba26bf25be05c11fafe3ba9acf525782.png)
Выражение получается комплексным, поэтому где-то должна быть ошибка, хотя это странно, так как я решал задачу с помощью Maple. Вот код:
Код:
solve({q[1]+q[2] = 0, -a^2*p[3]+b^2*p[3]+c^2*(q[1]-q[2]+p[2]-p[1]) = 0}, {q[1], q[2]});
Код:
x := (1/2)*(a^2*p[3]-b^2*p[3]+c^2*p[1]-c^2*p[2])/c^2-p[1]; y := -(1/2)*(a^2*p[3]-b^2*p[3]+c^2*p[1]-c^2*p[2])/c^2-p[2]; z := -p[3]; l[c] := simplify(sqrt(-a^2*y*z-b^2*x*z-c^2*x*y))