|
К завершению доказательства ВТФ
Как видно из последнего моего сообщения, центральным моментом исследования стала цифра предшествующая первой цифре числа u, т.е. u_{t+1}, где t – число цифр в числе u.
И вот, желая упростить не совсем простые расчеты с цифрами u_{t+i}, был осмыслен давно известный факт незначительной разницы между числами c и u. Оказалось, что первая цифра числа c всего на 1 (!!!) больше первой цифры числа u, правда, за исключением случая n = 3. (Любой желающий может легко убедиться в этом сам, для чего, конечно, число u нужно привести к виду 99…9900…00 и взять a = b, когда разница c-b максимальна.)
Но фантастичность этого факта усилилась тем обстоятельством, что и первые цифры чисел a и b тоже ровно на 1 выше первой цифры числа u!!! (Неравенство u < b является простейшим следствием неравенства 0 < b < a < c и, следовательно, a – c < 0; кроме того, желательно сделать разницу между b и u более n^k.)
Но ведь сумма первых цифр в этом случае равна либо 0, либо –1 (поскольку все цифры числа u перед первой цифрой u_t равны нулю), в то время как для всех степеней, кроме 3-х, a_{t+i} + b_{t+i} – c_{t+i} = 1, а не как не 0 и, тем более не –1!!!
Таким образом, для n > 3 ВТФ доказана. (А самый трудый случай n = 3 оставим "на закуску".)
+++++++++++++++++++++
Для тех, кому не терпится дождаться публикации в "doc" и готов продираться сквозь терни неудобных обозначений, я даю интернетовский вариант доказательства. (Замечу лишь, что в будущем пункт 4° я изложу несколько проще.) Итак,
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]
Используемые обозначения:
Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n > 2.
[Все случаи с составным n, кроме n = 2^k (который сводится к случаю n = 4), сводятся к случаю
простого n с помощью простой подстановки. В примерах n = 5.]
a_k (или a_{k}) – k-я цифра от конца в числе a (a_1 – последняя цифра; всегда a_1 =/ 0).
[Пример для a = 1043: 1043 = 1x5^3 + 0x5^2 + 4x5^1 + 3x5^0; a_1 = 3, a_2 = 4, a_3 = 0, a_4 = 1.]
a_(k) (или a_(k)) – окончание (число) из k цифр числа a (a_(1) = a_1; 1043_(3) = 043).
[Если все три числа a, b и c оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на n^n.]
u = a + b – c, где u_(k) = 0 и где u_{k+1} =/ 0.
R(u) = t – число цифр в числе u; следовательно, u_{t+1} = 0, u_{t+2} = 0, …
R(c) = r – число цифр в числе c.
Лемма 1. Так как, согласно малой теореме Ферма, числа n^(p – 1) – 1, n^(q – 1) – 1, … n^(r – 1) – 1 делятся на простые числа p, q, r, то число n[(p – 1)(q – 1)…(r – 1)] – 1 делится на pq…r.
Следствие 1. Если a_1 =/ 0, то существует такое число d, что ad = n^s – 1. То есть все цифры числа ad есть n – 1, или "девятки".
Доказательство Великой теоремы Ферма
(1°) Допустим, что равенство a^n + b^n – c^n = 0, где a, b, c целые, n > 2 и положительные числа, существует.
(2°) Если число b – u < n^k, то умножим равенство 1° на (n^k + 1)^n. Теперь b > u + n^k.
(3°) Затем приведем число u = a + b – c к виду 99…9900…00 (умножив равенство (1°) на число d^n из Следствия 1).
(4°) Вычислим максимальное значение числа h = (c – u)/u, или h = [2c – (a + b)]/(a + b – c).
Легко видеть, что при заданном c (т.е. при c = const) этот максимум достигается при a = b и a находится из равенства 2a^n = с^n. Для n = 3, 5, 7, 11… c равно: 1,2599a, 1,1487a, 1,1041a, 1,0650a… Соответственно h [= 2(c – a)/(2a – c)] равно: 0,74, 0,349, 0,2324, 0,1390…, что составляет от n величину: nh = 2,22, 1,745, 1,627, 1,529… Это значит, что если число u = n (или n^t), то число c превышает число u на 0,74u, 0,349u, 0,2324u, 0,1390u…, то есть первая цифра числа c, или c_{t+1}, меньше или равна значению
(5°) nh = 2,22, 1,745, 1,627, 1,529…, а ВСЕ предыдущие цифры числа c, т.е. c_{t+2}, c_{t+3}, …, есть нули. Очевидно, что величина nh есть монотонно убывающая функция от n.
(6°) Очевидно также, что a =/ b, a =/ c, b =/ c.
Пусть для определенности b < a < c. Откуда a – c < 0, и следовательно,
(7°) a + b – c = u < b (причем b > n^t!).
(8°) Cледовательно, учитывая 2° и 5°, 0 < a_{t+1} =< 1 и 0 < b_{t+1} =<1.
Но из u_{t+1} = 0 следует, что a_{t+1} + b_{t+1} – c_{t+1} = (0 или – 1), но с учетом 5° и 8° это по крайней мере для простой степени n > 3 не выполняется.
Таким образом, для n > 3 целочисленное решение уравнения 1° отсутствует. Теорема доказана. Случай n = 3 будет рассмотрен позже.
21 сентября 2005
ВИКТОР СОРОКИН
|
