Что такое dom(M) и rng(M)

[granit201z]

В параграфе 4. Отношения и функции учебника "Колмогоров А Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику" есть такая запись:

Цитата:

Кроме того, допускают, что для любого множества $M$ существуют множества

$dom(M)$ $=$ $\left\lbrace x | \exists y ((x, y) \in M)\right\rbrace$

$rng(M)$ $=$ $\left\lbrace y|\exists x ((x, y) \in M)\right\rbrace$

всех первых элементов пар из $M$ и всех вторых элементов пар из $M$

Объясните, пожалуйста, на конкретном примере, что это значит

[NDP]

А вы сами не пробовали? Нарисуйте любое множество, для начала из $\mathbb R^2$, и прямо по картиночке попробуйте посмотреть.

[Someone]

Обычно первое называется областью определения, а второе — множеством значений отображения (функции) или отношения. Могут и другие слова употребляться.

[granit201z]

Someone в сообщении #1254922 писал(а):

Обычно первое называется областью определения, а второе — множеством значений отображения (функции) или отношения. Могут и другие слова употребляться.

Спасибо.

Не сочтите за навязчивость, но:

Цитата:

для любого множества $M$

Под словами любое множество $M$ имеется ввиду совсем любые множества, или все-таки множества определенного вида, состоящие из пар $\left\lbrace(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)...\right\rbrace$ ?

[Geen]

granit201z в сообщении #1254931 писал(а):

Под словами любое множество $M$ имеется ввиду совсем любые множества

А в чём проблема? - ведь множества из первого поста могут быть и пустые

[granit201z]

Geen в сообщении #1254933 писал(а):

А в чём проблема? - ведь множества из первого поста могут быть и пустые

Вы имеете ввиду: область определения - $\varnothing$ ; множество значений отображения $\left\lbrace y_1, y_2, y_3...\right\rbrace$, и в итоге получим: $\left\lbrace y_1, y_2, y_3...\right\rbrace$ ?

[Geen]

Это как? Прошу прощения, не понял что имеется ввиду.

[arseniiv]

granit201z
Те элементы $M$, которые не являются парами, никак не сказываются на $\operatorname{dom}M$ и $\operatorname{rng}M$. Не обращайте внимание — в нормальных случаях $M$, содержащие не пары, попадаться не будут. Просто такое в данном случае удобнее. (А вообще никто вас не заставлял читать учебник матлогики, в самом деле.)

[granit201z]

Geen в сообщении #1254939 писал(а):

Это как? Прошу прощения, не понял что имеется ввиду.

Ну если под словом "любое" понимается что $M$ вот совсем любое, в том числе и такое: $\left\lbrace y_1, y_2, y_3...\right\rbrace$. А, в свою очередь, $dom(M)$ - это область определения, а $rng(M)$ - множество значений, то для такого $M$ какими будут $dom(M)$ и $rng(M)$ ?
Или все-таки, рассматриваемое $M$ не любое, а только такого вида: $\left\lbrace(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)...\right\rbrace$ ? И тогда понятно, что для него $dom(M)$ это $\left\lbrace x_1, x_2, x_3...\right\rbrace$, а $rng(M)$ это $\left\lbrace y_1, y_2, y_3...\right\rbrace$ ?

-- 11.10.2017, 22:24 --

arseniiv в сообщении #1254946 писал(а):

(А вообще никто вас не заставлял читать учебник матлогики, в самом деле.)

Я и не говорил, что меня кто-то заставил его читать. Просто сам начал читать, ну и соответственно встречать непонятные мне моменты. Вот и прошу помощи иногда.

[gris]

Если множество не содержит никаких пар, то два обсуждаемых множества будут пустыми. Там дальше есть оговорка, что если множество $M$ есть множество пар, то оно принадлежит прямому произведению $dom\times rng$. Вероятно, некоторую путаницу вносит то, что перед этим через $M$ как раз обозначалось множество, которому принадлежат первые элементы пар, через $N$ — множество, которому принадлежат вторые элементы пар, а отношение будет подмножеством $M\times N$.

[granit201z]

gris в сообщении #1254953 писал(а):

Вероятно, некоторую путаницу вносит то, что перед этим через $M$ как раз обозначалось множество, которому принадлежат первые элементы пар

Да. И еще вдобавок немного путаницы для меня внесло это:

Цитата:

для любого множества $M$

.

Правильно ли теперь я понял, что это выражение следует понимать так?:

Цитата:

Кроме того, допускают, что для любого множества

пар

Цитата:

$M$ существуют множества

$dom(M)$ $=$ $\left\lbrace x | \exists y ((x, y) \in M)\right\rbrace$

$rng(M)$ $=$ $\left\lbrace y|\exists x ((x, y) \in M)\right\rbrace$

всех первых элементов пар из $M$ и всех вторых элементов пар из $M$

[arseniiv]

Нет, для абсолютно любого множества.

granit201z в сообщении #1254949 писал(а):

в том числе и такое: $\left\lbrace y_1, y_2, y_3...\right\rbrace$

Вы, кажется, думаете, что эти игреки не могут быть парами, а они, увы, могут. Написали бы явно: возьмём $M$ такое, что $\forall x\forall y((x,y)\notin M)$. Это значит, что никаких пар в $M$ нет. Вот для такого $M$, как выше писали, и $\mathrm{dom}$, и $\mathrm{rng}$, будут пустыми. Для произвольного же множества верно $\operatorname{dom}M = \operatorname{dom} M'$, где $M' = \{m \mid m\in M\wedge\exists x\exists y(m = (x,y))\}$ — множество всех пар, содержащихся в $M$ (с $\mathrm{rng}$ аналогично).

granit201z в сообщении #1254949 писал(а):

Я и не говорил, что меня кто-то заставил его читать. Просто сам начал читать, ну и соответственно встречать непонятные мне моменты.

Просто обычно с учебников по матлогике не начинают знакомство с множествами, а если вас интересует матлогика, то я почему-то подозреваю, что выше по тексту было объяснение, почему $\mathrm{dom}$ и $\mathrm{rng}$ должны быть определены для всех множеств. И в данном случае ещё везёт, что для множеств, не являющихся ничьими графиками, ещё существует более-менее логичное значение, которое им можно сопоставить.

[granit201z]

arseniiv в сообщении #1254960 писал(а):

то я почему-то подозреваю, что выше по тексту было объяснение, почему $\mathrm{dom}$ и $\mathrm{rng}$ должны быть определены для всех множеств

Нет. Впервые в этом учебнике $\mathrm{dom}$ и $\mathrm{rng}$ встретились именно в таком виде и именно в этом предложении. Выше упоминаний о них не было.

-- 11.10.2017, 23:04 --

arseniiv в сообщении #1254960 писал(а):

Просто обычно с учебников по матлогике не начинают знакомство с множествами,

Не только с множествами я попытался познакомиться, еще анализ попытался почитать. Но так или иначе в тех учебниках, которые я начинал читать все опиралось на эту самую логику. Вот я тогда с нее и решил начать.

[arseniiv]

Именно о них и не должно быть, это частности. Если я правильно понимаю контекст.

-- Чт окт 12, 2017 01:25:02 --

Хм, нет, это перед определением теорий первого порядка, так что определять эти отображения на всех множествах не обязательно. С другой стороны, если пойти дальше оглавления и заглянуть в текст, видно, что они рассматриваются как способы образования одних множеств из других, т. е. постулируется, что если $M$ — множество, $\operatorname{dom}M$ и $\operatorname{rng}M$ тоже множества. И вот нужда уже в этом должна быть ясной, потому что выше уж точно должно говориться, почему нельзя считать $\{x\mid \varphi\}$ для произвольной формулы $\varphi$ множеством. Можно было бы также постулировать, что $\operatorname{dom}M$ и $\operatorname{rng}M$ являются множествами в случае $M$, состоящего лишь из пар, а для остальных ничего не говорить, но это с большой вероятностью приведёт к ненужной возне в выкладках.

[Munin]

granit201z в сообщении #1254962 писал(а):

Но так или иначе в тех учебниках, которые я начинал читать все опиралось на эту самую логику. Вот я тогда с нее и решил начать.

Обычно в учебниках по анализу (начальных) даётся достаточно сведений по логике, множествам и теории чисел, чтобы читать их как совершенно самодостаточные книги.