Измеримые и измеримые по Борелю функции

[slu4ayniyProcess]

Продолжаю разбираться с мерой Лебега.

Волнует следующее обстоятельство.

1) Почему в определении измеримости функций, за образы взяли именно борелевскую сигма алгебру, а не какую нибудь более полную, например сигма алгебру всех измеримых по Лебегу множеств?
2) Возможно ли в принципе такая ситуация, что существует функция, которая отображает какое-нибудь измеримое по Лебегу множество в множество измеримое по Лебегу, но не борелевское?
3) Известен факт, что множество измеримых функций, замкнуто относительно поточечных пределов и пределов почти всюду. Непонятно распространяется ли это свойство на множество функций измеримых по Борелю. Если нет, то почему. Знаю только, что пределы последовательностей непрерывных(то есть Б-измеримых) функций измеримы по Борелю. Но этого мне мало, чтобы успокоиться в этом вопросе.
4) Может есть какая то книга, где можно почитать именно про борелевские множества и функции измеримые по Борелю более подробно? Но те на столько подробно как вот тут например https://www.mccme.ru/free-books/kanovej/set_theory.pdf xD. Что-то вроде учебника Колмогорова и Фомина хотелось бы.

[Brukvalub]

Предполагаю, что такой выбор сигма-алгебры в образе отвечает нуждам теории вероятностей. Например, оказалось очень удобным и естественным описывать случайные величины с помощью их функций распределения, что требует всего лишь измеримости прообразов открытых лучей. А наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые лучи - борелевская.

[Anton_Peplov]

slu4ayniyProcess в сообщении #1254175 писал(а):

2) Возможно ли в принципе такая ситуация, что существует функция, которая отображает какое-нибудь измеримое по Лебегу множество в множество измеримое по Лебегу, но не борелевское?

Вспомните о понятии "равномощность".

[realeugene]

slu4ayniyProcess в сообщении #1254175 писал(а):

2) Возможно ли в принципе такая ситуация, что существует функция, которая отображает какое-нибудь измеримое по Лебегу множество в множество измеримое по Лебегу, но не борелевское?

Безусловно. Тождественное отображение.

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1254175 писал(а):

1) Почему в определении измеримости функций, за образы взяли именно борелевскую сигма алгебру, а не какую нибудь более полную, например сигма алгебру всех измеримых по Лебегу множеств?

Есть три естественных свойства меры и измеримости:

1) Композиция измеримых функций измерима.
2) Любое подмножество множества меры нуль измеримо (и тоже имеет меру нуль, но это уже автоматически).
3) Любая непрерывная функция измерима.

Проблема в том, что, кроме вырожденных случаев вроде дискретной меры, все три свойства сразу иметь невозможно. На каждые два из трёх есть своё определение, и оказалось, что в классическом анализе и вероятности наиболее важны пункты 2 и 3, пожертвовав тем, что $\sigma$-алгебры на области определения и значений не будут одинаковыми.

[realeugene]

g______d в сообщении #1254258 писал(а):

и оказалось, что в классическом анализе и вероятности наиболее важны пункты 2 и 3, пожертвовав тем, что $\sigma$-алгебры на области определения и значений не будут одинаковыми.

Так второе свойство называется полнотой меры. У вероятностной меры нет аксиомы полноты.

-- 09.10.2017, 17:26 --

slu4ayniyProcess в сообщении #1254175 писал(а):

1) Почему в определении измеримости функций, за образы взяли именно борелевскую сигма алгебру, а не какую нибудь более полную, например сигма алгебру всех измеримых по Лебегу множеств?

Возможно, дело в том, что на отрезке $[0, 1]$ существует непрерывная монотонно возрастающая функция $f(x)$, отображающая этот отрезок в себя, и измеримое по Лебегу множество $E$, такие, что $f^{-1}(E)$, что не измеримо по Лебегу.

[slu4ayniyProcess]

http://lpcs.math.msu.su/~uspensky/bib/U ... theory.pdf

Пробежал два первых параграфа (те, что я могу воспринять xD ) вот этой статьи, отчасти философской, отчасти исторической, но при этом про математику. Отсюда стало более понятно, зачем именно мера Лебега, а не скажем более интуитивная мера Бореля. (начинаются проблемы с множествами бесконечной меры)

Brukvalub в сообщении #1254180 писал(а):

Предполагаю, что такой выбор сигма-алгебры в образе отвечает нуждам теории вероятностей. Например, оказалось очень удобным и естественным описывать случайные величины с помощью их функций распределения, что требует всего лишь измеримости прообразов открытых лучей. А наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые лучи - борелевская.

Крамер кстати в своей книге работает только на Б-измеримых функциях. Это я к теме про распределения и случайные величины. Ваш комментарий и то что, я прочитал в книге у Колмогорова, немного раскрыли завесу тайны почему это так. А сейчас я еще раз пробежал материал Крамера по Б-измеримым функциям, и обратил внимание на еще некоторые важные моменты. Распишу это в конце сообщения.

realeugene в сообщении #1254210 писал(а):

Безусловно. Тождественное отображение.

Anton_Peplov в сообщении #1254188 писал(а):

Вспомните о понятии "равномощность".

Действительно. Ошибся немного в мыслях на ночь глядя. Нам ведь не интересно в принципе, в какие множества отображает наша функций. А интересно, во что эти множества отображает обратное отображение. А т.к. как из определения измеримых функций, очевидно (иначе зачем такое определение стали бы делать? xD ), что даже борелевские множества могут отображаться обратным отображением в измеримые по Лебегу, но не-борелевские множества, то с измеримыми по Лебегу и подавно.

realeugene в сообщении #1254260 писал(а):

Возможно, дело в том, что на отрезке $[0, 1]$ существует непрерывная монотонно возрастающая функция $f(x)$, отображающая этот отрезок в себя, и измеримое по Лебегу множество $E$, такие, что $f^{-1}(E)$, что не измеримо по Лебегу.

Таким образом, получается, что даже класс непрерывных на отрезке функций был бы не измерим в таком случае. А борелевская сигма алгебра мало того, что в сигма алгебру измеримых по Лебегу множеств обратно отображается, так еще и в борелевскую на этом классе.

g______d в сообщении #1254258 писал(а):

Есть три естественных свойства меры и измеримости:

1) Композиция измеримых функций измерима.
2) Любое подмножество множества меры нуль измеримо (и тоже имеет меру нуль, но это уже автоматически).
3) Любая непрерывная функция измерима.

Проблема в том, что, кроме вырожденных случаев вроде дискретной меры, все три свойства сразу иметь невозможно. На каждые два из трёх есть своё определение, и оказалось, что в классическом анализе и вероятности наиболее важны пункты 2 и 3, пожертвовав тем, что $\sigma$-алгебры на области определения и значений не будут одинаковыми.

Таким образом, если мы берем просто измеримые функции, то т.к. борелевские множества могут отобразиться обратным отображением в не-борелевские, их нельзя будет применить к еще одному обратному отображению, т.к. оно принимает борелевские множества.
А если мы возьмем Б-измеримые функции, то с композицией все становится норм. С непрерывными тоже все хорошо. Но с подмножеством меры нуль уже не выходит красиво. Но не выходит ведь если брать меру по Борелю так называемую(да и то, ведь можно просто по определению положить всем подмножествам множеств меры нуль также нулевую меру. Правда как пишут в статье по ссылке приведенной выше, она в таком случае совпадет с мерой по Лебегу xD). А если взять меру Лебега для измерения множеств в этом случае (у нее то ведь все прекрасно с подмножествами меры нуль), но при этом ограничиться Б-измеримыми функциями. То все 3 естественных свойства будут разрешены ведь? Или я что-то не правильно понимаю?

realeugene в сообщении #1254260 писал(а):

Так второе свойство называется полнотой меры. У вероятностной меры нет аксиомы полноты.

Но Колмогорову например это не мешает приводить вот такое определение. Кто не прав?)

Цитата:

О п р е д е л е н и е 4. Мера $\mu$ называется полной, если из $\mu(A) =0$ и $A’ \subset A$ вытекает, что $A’$ измеримо.

А теперь я о своем немного порассуждаю.
Как пишет Крамер (а для некоторых свойств приводит и доказательства), класс Б-измеримых функций замкнут относительно поточечного предельного перехода. А также относительно сложения, вычитания, умножения и взятия модуля. И также в него входят все непрерывные функции.
Остается вопрос предельного перехода почти всюду для Б-измеримых функций. Будет ли класс Б-измеримых функций замкнут относительно него.
Вот, что пишет Г. Крамер в книге «Математические методы статистики» (глава 5, §3, 1975) на этот счет: (Последовательность функций равномерно ограничена и сходится почти всюду к $g(x)$. А множество $S$ на котором определены функции имеет конечную меру.)

Цитата:

Если $\lim g_{\nu}(x)$ существует не для всех $x$ из $S$, то мы дополняем определение функции $g(x)$ на множестве $S$, полагая $g(x)=0$ в тех точках $x$, для которых этот предел не существует. Тогда $|g(x)| \leqslant K$ для всех $x$ из $S$ и из предыдущего параграфа вытекает, что $g(x)$ B-измерима на $S$, а следовательно, и интегрируема на $S$.

Но вывод о Б-измеримости полученной функции мне не понятен. Что если то самое множество меры нуль на котором функция не сходится будет не-борелевским? Таким образом борелевское множество состоящее из одного нуля отобразится обратным отображением в не-борелевское множество. (понимаю, что на интеграл от полученной функции это не повлияет, но все таки хочется понимать все до конца.) Или такого не может быть, в случае, когда функции составляющие последовательность Б-измеримы?

[realeugene]

slu4ayniyProcess в сообщении #1254399 писал(а):

Кто не прав?)

Посмотрите аксиомы теории вероятностей.

slu4ayniyProcess в сообщении #1254399 писал(а):

Что если то самое множество меры нуль на котором функция не сходится будет не-борелевским?

Если у множества есть мера нуль, то оно измеримо (по определению). Проблемы могут возникнуть только с подмножествами множества меры нуль, которые для неполных мер не обязаны быть измеримыми (принадлежать алгебре). Но множество, на котором предел измеримых функций существует, измеримо. Следовательно, множество, на котором предел не существует, тоже измеримо. И если предел существует почти всюду (кроме множества меры нуль), то мы доопределяем эту предельную функцию для последовательности измеримых функций произвольной константой на множестве, где предел не существует, и получаем измеримую функцию. Для произвольной алгебры.

-- 10.10.2017, 12:32 --

Любопытно, что Колмогоров в Основных понятиях теории вероятностей определяет борелевскую алгебру как синоним сигма-алгебры, ничего не упоминая про полноту меры.

[slu4ayniyProcess]

realeugene писал(а):

Посмотрите аксиомы теории вероятностей.

Да ошибся. Приведенное мною определение было для произвольной меры, а вероятность она со своими особенностями. Проработаю эту часть материала с акцентом, на такие вещи. При первом чтении не на все важные моменты обращаешь внимание.

realeugene писал(а):

Если у множества есть мера нуль, то оно измеримо (по определению).

Но ведь оно может быть измеримо по Лебегу и иметь меру нуль, но не быть борелевским.

realeugene писал(а):

Проблемы могут возникнуть только с подмножествами множества меры нуль, которые для неполных мер не обязаны быть измеримыми (принадлежать алгебре).

Уточню. Про измеримость множеств мы говорим сейчас относительно какой то алгебры. И под измеримостью понимается принадлежность множества этой алгебре. А не измеримость конкретно по Лебегу?
Таким образом если рассмотреть две сигма алгебры. Первая борелевская, а вторая измеримых по Лебегу множеств. То понимаем это как две разные измеримости. Хотя из первой измеримости вытекает вторая.

realeugene писал(а):

Следовательно, множество, на котором предел не существует, тоже измеримо.

Из-за замкнутости алгебры относительно операции разности.

realeugene писал(а):

И если предел существует почти всюду (кроме множества меры нуль), то мы доопределяем эту предельную функцию для последовательности измеримых функций произвольной константой на множестве, где предел не существует, и получаем измеримую функцию.

И даже если бы предельная функция и в каких то других точках, принимала значение равное выбранной константе, то множество на котором бы это происходило, должно было бы быть измеримым относительно выбранной сигма алгебры(т.к. является прообразом точки, хотя тогда эта точка должна входить в сигма алгебру), что в сумме с множеством на котором функция не сходится также дает измеримое относительно выбранной сигма алгебры множество.

Таким образом получается, что если мы берем класс всех Б-измеримых функций. (то есть функций, обратные отображения к которым отображают борелевские множества в борелевские множества.)
То он замкнут относительно операций:
Суммы, разности, произведения, взятия модуля, композиции, поточечного предела, предела почти везде. Верно?

realeugene писал(а):

Но множество, на котором предел измеримых функций существует, измеримо.

realeugene писал(а):

Для произвольной алгебры.

Мне кажется произвольной алгеброй не обойтись. Т.к. чтобы в принципе говорить, о поточечной сходимости нам нужно, чтобы все точки содержащиеся в единице были включены в нашу алгебру. К примеру если взять вот такую алгебру: $\left\lbrace\varnothing, A\right\rbrace$. И последовательность функций, изоморфно отображающих A в A во всех точках кроме одной, в которой функции последовательности принимают какие-нибудь разные значения, так, чтобы последовательность в этой точке не сходилась. Тогда предельная функция не будет измеримой по отношению к нашей Алгебре.

[slu4ayniyProcess]

slu4ayniyProcess писал(а):

Мне кажется произвольной алгеброй не обойтись. Т.к. чтобы в принципе говорить, о поточечной сходимости нам нужно, чтобы все точки содержащиеся в единице были включены в нашу алгебру. К примеру если взять вот такую алгебру: $\left\lbrace\varnothing, A\right\rbrace$. И последовательность функций, изоморфно отображающих A в A во всех точках кроме одной, в которой функции последовательности принимают какие-нибудь разные значения, так, чтобы последовательность в этой точке не сходилась. Тогда предельная функция не будет измеримой по отношению к нашей Алгебре.

Точнее предельная функция будет измеримой если доопределить значение в точке, где последовательность не сходится. Но множество на котором предел последовательности существует не измеримо по нашей алгебре, не смотря на измеримость функций последовательности.

[kp9r4d]

Я тоже отвечу.

slu4ayniyProcess в сообщении #1254175 писал(а):

1) Почему в определении измеримости функций, за образы взяли именно борелевскую сигма алгебру, а не какую нибудь более полную, например сигма алгебру всех измеримых по Лебегу множеств?

1) Есть же конструктивный дефинишн измеримых функций: это просто поточечные (или равномерные) пределы простых функций.
2) Только если кодомен это $\mathbb{R}$ с борелевской алгеброй пространство всех измеримых функций будет образововать $W^*$-алгебру, эквивалентно - только в этом случае будет выполнятся теорема Радноа-Никодима или теорема Ритца.
3) То, что сказал g______d
(Вообще мне тоже эти ответы не нравятся, мне был бы интересен ответ в терминах категорных свойств слайс-категорий $\mathcal{M} / (\mathbb{R},\mathcal{B})$ и $\mathcal{M} / (\mathbb{R},\mathcal{L})$ где $\mathcal{M}$ категория локализуемых измеримых пространств, ну или универсальное свойство какое на $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ или что-то в этом духе, но я такого не нашёл нигде).

slu4ayniyProcess в сообщении #1254175 писал(а):

функций измеримы по Борелю

Не нужны и думать о них не нужно.

[realeugene]

slu4ayniyProcess в сообщении #1254688 писал(а):

Но множество на котором предел последовательности существует не измеримо по нашей алгебре, не смотря на измеримость функций последовательности.

Нет, если функции последовательности измеримы по нашей алгебре, то и множество точек, в которых существует предел последовательности, тоже измеримо по нашей алгебре. Потому что измеримы по нашей алгебре функции $\lim \inf f_n$ и $\lim \sup f_n$, и множество точек, в которых существует предел $f_n$ - это множество, на котором эти измеримые предельные инфимум и супремум совпадают.

-- 11.10.2017, 15:34 --

slu4ayniyProcess в сообщении #1254684 писал(а):

Проработаю эту часть материала с акцентом, на такие вещи. При первом чтении не на все важные моменты обращаешь внимание.

Я бы тоже хотел в этом всём детально разобраться. Но на аналогичные вопросы, которые я в форуме задавал недавно, мне никто так и не ответил. И это тот уровень понимания, до которого мне удалось докопаться к текущему моменту. Я, разумеется, могу и ошибаться, но пока что я не вижу в этом противоречий.

-- 11.10.2017, 15:49 --

kp9r4d в сообщении #1254773 писал(а):

Я тоже отвечу.

Спасибо. Не знаю, как ТС, но я ваш комментарий не понял совершенно.

[kp9r4d]

realeugene в сообщении #1254791 писал(а):

Спасибо. Не знаю, как ТС, но я ваш комментарий не понял совершенно.

Без проблем, если у вас получится локализовать ваше непонимание, то я могу попробовать пояснить. Скажем, что измеримые по Лебегу (= $(\mathcal{B},\mathcal{L})$-измеримые) функции это наименьший класс функций, который включает в себя все простые и замкнут относительно поточечных пределов это понятно? Хотя бы формулировка.

[realeugene]

slu4ayniyProcess в сообщении #1254684 писал(а):

Т.к. чтобы в принципе говорить, о поточечной сходимости нам нужно, чтобы все точки содержащиеся в единице были включены в нашу алгебру.

В алгебру включаются не точки, а подмножества омеги. Единицы входит в алгебру по определению. Функции отображают элементы омеги в числа. Для каждого элемента омеги (для каждой точки аргумента) существует ряд чисел - значений функций на этой точке в функциональном ряду. Без привязки к алгебре. Этот ряд либо сходится, либо нет.

-- 11.10.2017, 16:05 --

kp9r4d в сообщении #1254811 писал(а):

$(\mathcal{B},\mathcal{L})$-измеримые

$\mathcal{B}$ - это то, что в Боровкове обозначено как $\Omega$? Тогда понятно.
Впрочем, не совсем. Ваше определение подразумевает именно меру Лебега? Потому что определение простых функций описается на конкретную меру. А вы написали букву $\mathcal{L}$.
А, ну да, "измеримые по Лебегу". Тогда всё более-менее ясно.

-- 11.10.2017, 16:16 --

slu4ayniyProcess в сообщении #1254684 писал(а):

К примеру если взять вот такую алгебру: $\left\lbrace\varnothing, A\right\rbrace$. И последовательность функций, изоморфно отображающих A в A во всех точках кроме одной, в которой функции последовательности принимают какие-нибудь разные значения, так, чтобы последовательность в этой точке не сходилась. Тогда предельная функция не будет измеримой по отношению к нашей Алгебре.

Но функции этой последовательности сами не А-измеримы.

[kp9r4d]

Ой, я $(\mathcal{L},\mathcal{B})$ хотел сказать.