fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 из пушки стрельнули
Сообщение10.10.2017, 20:43 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Из пушки выстреливается снаряд с начальной скоростью $u>0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Масса снаряда $m$, сила сопротивления воздуха пропорциональна по модулю квадрату скорости снаряда и направлена против скорости: $\boldsymbol F=-\gamma|\boldsymbol v|\boldsymbol v,\quad \gamma=const>0$. Какова скорость снаряда в тот момент, когда он поднимется на максимальную высоту? Движение происходит в стандартном поле тяжести $\boldsymbol g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение10.10.2017, 23:54 
Заслуженный участник


20/04/10
1945
Пусть $\varphi$ угол между скоростью и горизонтальной осью. Выпишем тангенциальное и нормальное ускорение тела:
$$\dot{v}=-\frac{\gamma}{m}v^2-g\sin{\varphi}$$$$\dot{\varphi} v=-g\cos{\varphi}$$
Для угла получается уравнение $\ddot{\varphi}+2\tg{\varphi}\,\, \dot{\varphi}^2+{\gamma\over m}\, g\,\cos{\varphi}=0$, начальные данные $\varphi(0)=\alpha,\,\, \dot{\varphi}(0)=-g\cos{\alpha}/v_0$. Решив это уравнение, находим момент $\tau$, такой что $\varphi(\tau)=0.$ Тогда $v(\tau)=-g/\dot{\varphi}(\tau)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
$$v^2 = \dfrac{u^2 \cos^2 \alpha}{1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\tg \alpha + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)}$$

P. S. Обошёлся обыкновенным интегралом.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 00:24 
Заслуженный участник


20/04/10
1945
Видимо, это и есть верное решение. Формула убедительная.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Обобщить на закон сопротивления $\mathbf F = - k v^{n-1} \mathbf v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 03:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Прошу прощения, в моём ответе опечатка. Должно быть:
$$
v^2 = \dfrac{u^2 \cos^2 \alpha}{1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left( {\color{blue}{\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha}}} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 16:41 
Заслуженный участник


03/01/09
1717
москва
Как продолжение: найти длину участка траектории от начальной до наивысшей точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
mihiv в сообщении #1254832 писал(а):
найти длину участка траектории от начальной до наивысшей точки.

$$
s = \dfrac{m}{2 \gamma} \ln \left[ 1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)\right].
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 22:31 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Ну да, все крутится вокруг этого красивого и известного давно приема: раскладывать уравнение движения точки по реперу Френе траектории
$$m\ddot s=-mg\sin\varphi-\gamma\dot s^2;\quad k(s)\dot s^2=g\cos\varphi;\quad k(s)=-\frac{d\varphi}{ds};$$
и отсюда уравнение Бернулли:
$$\frac{dv}{d\varphi}=v g\tg\varphi+\frac{\gamma}{mg\cos\varphi}v^3,\quad v=\dot s$$

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение11.10.2017, 23:35 


30/03/08
196
St.Peterburg
mihiv в сообщении #1254832 писал(а):
Как продолжение: найти длину участка траектории от начальной до наивысшей точки.



Уравнение изменения кинетической энергии:
$$\dfrac{m}{2}\dfrac{d(v^2)}{ds}=-\gamma v^2-mg\sin(\varphi)$$
Центростремительное ускорение:
$$\dfrac{d\varphi}{ds}v^2=-g\cos(\varphi)$$

Тогда для $z(\varphi)=v^2(\varphi)$ получаем уравнение Бернулли:

$$\dfrac{dz}{d\varphi}-2\tan(\varphi)z-\dfrac{2\gamma}{mg}\dfrac{z^2}{cos(\varphi)}=0$$

$$s(\varphi)=\dfrac{m}{2\gamma}\ln\left(\dfrac{u^2}{v^2}\right)+\dfrac{m}{\gamma}\ln\left( \dfrac{\cos(\alpha)}{cos(\varphi)}\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение12.10.2017, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Решение для $\mathbf F = \gamma v^{n-1} \mathbf v$, $n > 0$.

(Решение)



-- 12.10.2017, 00:47 --

В задаче именно про верхнюю точку подход с введением параметризации углом $\theta$ между скоростью и горизонталью выбирается из тех соображений, что таким образом мы отыскиваем значения при $\theta = 0$ при том, что для $\theta = \alpha$ поставлены начальные условия.

Для остальных точек траектории, видимо, считать что-то можно только численно.

 Профиль  
                  
 
 Re: из пушки стрельнули
Сообщение12.10.2017, 02:54 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
закон движения относительно инерциальной СО выражается квадратурами

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group