Решение для

,

.
(Решение)
Пусть иксовая проекция скорости есть функция от угла

, который составляет вектор

с ортом

:

. Тогда

. Параметризация корректна, так как функция

монотонно убывает, значит, она есть биекция.
Из уравнения движения

извлекаем два соотношения

Из последнего

откуда

Заметим, что

. Подстановка в первое уравнение приводит к

разделение переменных приводит к

интегрирование слева и справа в пределах от

до

даёт функцию (если

)

Ответ на вопрос о скорости в верхней точке, таким образом, даётся выражением
![$$
v = \dfrac{u \cos \alpha}{\sqrt[n]{1 - \dfrac{\gamma u^n \cos^n \alpha}{mg} \int \limits_0^\alpha \dfrac{\mathrm d\vartheta}{\cos^{n+1} \vartheta}}}.
$$ $$
v = \dfrac{u \cos \alpha}{\sqrt[n]{1 - \dfrac{\gamma u^n \cos^n \alpha}{mg} \int \limits_0^\alpha \dfrac{\mathrm d\vartheta}{\cos^{n+1} \vartheta}}}.
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/d/f1d4323828a25fd0212fb81af267e3c282.png)
Ответить на вопрос о длине траектории до верхней точки можно следующим образом. Определим функцию

— длину пройденного пути к моменту

. Тогда

с одной стороны, а с другой стороны

, откуда

Величину

можно получить отсюда двумя способами: либо подставить

(см. выше), получая интеграл

и как-то его вычисляя, либо подставляя

откуда

Только в случае

это выражение приводится к виду

и интегрирование даёт

Учтя, что

, окончательно имеем (см. ответ для скорости в верхней точке для

)
![$$
s(0) = s = \dfrac{m}{2 \gamma} \ln \left[ 1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)\right].
$$ $$
s(0) = s = \dfrac{m}{2 \gamma} \ln \left[ 1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)\right].
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/7/a17ec44b1714025a5bc77a5b5dd5a14582.png)
-- 12.10.2017, 00:47 --В задаче именно про верхнюю точку подход с введением параметризации углом

между скоростью и горизонталью выбирается из тех соображений, что таким образом мы отыскиваем значения при

при том, что для

поставлены начальные условия.
Для остальных точек траектории, видимо, считать что-то можно только численно.