из пушки стрельнули

[pogulyat_vyshel]

Из пушки выстреливается снаряд с начальной скоростью $u>0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Масса снаряда $m$, сила сопротивления воздуха пропорциональна по модулю квадрату скорости снаряда и направлена против скорости: $\boldsymbol F=-\gamma|\boldsymbol v|\boldsymbol v,\quad \gamma=const>0$. Какова скорость снаряда в тот момент, когда он поднимется на максимальную высоту? Движение происходит в стандартном поле тяжести $\boldsymbol g$.

[lel0lel]

Пусть $\varphi$ угол между скоростью и горизонтальной осью. Выпишем тангенциальное и нормальное ускорение тела:

$$\dot{v}=-\frac{\gamma}{m}v^2-g\sin{\varphi}$$

$$\dot{\varphi} v=-g\cos{\varphi}$$

Для угла получается уравнение $\ddot{\varphi}+2\tg{\varphi}\,\, \dot{\varphi}^2+{\gamma\over m}\, g\,\cos{\varphi}=0$, начальные данные $\varphi(0)=\alpha,\,\, \dot{\varphi}(0)=-g\cos{\alpha}/v_0$. Решив это уравнение, находим момент $\tau$, такой что $\varphi(\tau)=0.$ Тогда $v(\tau)=-g/\dot{\varphi}(\tau)$.

[StaticZero]

$$v^2 = \dfrac{u^2 \cos^2 \alpha}{1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\tg \alpha + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)}$$

P. S. Обошёлся обыкновенным интегралом.

[lel0lel]

Видимо, это и есть верное решение. Формула убедительная.

[StaticZero]

Обобщить на закон сопротивления $\mathbf F = - k v^{n-1} \mathbf v$.

[StaticZero]

Прошу прощения, в моём ответе опечатка. Должно быть:

$$ v^2 = \dfrac{u^2 \cos^2 \alpha}{1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left( {\color{blue}{\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha}}} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)}.$$

[mihiv]

Как продолжение: найти длину участка траектории от начальной до наивысшей точки.

[StaticZero]

mihiv в сообщении #1254832 писал(а):

найти длину участка траектории от начальной до наивысшей точки.

$$ s = \dfrac{m}{2 \gamma} \ln \left[ 1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)\right]. $$

[pogulyat_vyshel]

Ну да, все крутится вокруг этого красивого и известного давно приема: раскладывать уравнение движения точки по реперу Френе траектории

$$m\ddot s=-mg\sin\varphi-\gamma\dot s^2;\quad k(s)\dot s^2=g\cos\varphi;\quad k(s)=-\frac{d\varphi}{ds};$$

и отсюда уравнение Бернулли:

$$\frac{dv}{d\varphi}=v g\tg\varphi+\frac{\gamma}{mg\cos\varphi}v^3,\quad v=\dot s$$

[Sergic Primazon]

mihiv в сообщении #1254832 писал(а):

Как продолжение: найти длину участка траектории от начальной до наивысшей точки.

Уравнение изменения кинетической энергии:

$$\dfrac{m}{2}\dfrac{d(v^2)}{ds}=-\gamma v^2-mg\sin(\varphi)$$

Центростремительное ускорение:

$$\dfrac{d\varphi}{ds}v^2=-g\cos(\varphi)$$

Тогда для $z(\varphi)=v^2(\varphi)$ получаем уравнение Бернулли:

$$\dfrac{dz}{d\varphi}-2\tan(\varphi)z-\dfrac{2\gamma}{mg}\dfrac{z^2}{cos(\varphi)}=0$$

$$s(\varphi)=\dfrac{m}{2\gamma}\ln\left(\dfrac{u^2}{v^2}\right)+\dfrac{m}{\gamma}\ln\left( \dfrac{\cos(\alpha)}{cos(\varphi)}\right)$$

[StaticZero]

Решение для $\mathbf F = \gamma v^{n-1} \mathbf v$, $n > 0$.

(Решение)

Пусть иксовая проекция скорости есть функция от угла $\theta$, который составляет вектор $\mathbf v$ с ортом $\mathbf e_x$: $v_x = f(\theta)$. Тогда $v_y = f(\theta) \tg \theta$. Параметризация корректна, так как функция $\theta(t)$ монотонно убывает, значит, она есть биекция.

Из уравнения движения

$$ m \mathbf g - \gamma v^{n-1} \mathbf v = m \dot{\mathbf v} $$

извлекаем два соотношения

$$\begin{cases} \dot v_x = f'(\theta) \dot \theta = - \dfrac{\gamma}{m} v^{n-1} f(\theta), \\ \dot v_y = f'(\theta) \tg \theta \, \dot \theta + f(\theta) \dfrac{\dot \theta}{\cos^2 \theta} =-g -\dfrac{\gamma}{m} v^{n-1} f(\theta) \tg \theta. \end{cases} $$

Из последнего

$$ f'(\theta) \tg \theta \, \dot \theta + f(\theta) \dfrac{\dot \theta}{\cos^2 \theta} = -g + f'(\theta) \dot \theta \tg \theta, $$

откуда

$$ -g = \dfrac{f(\theta) \dot \theta}{\cos^2 \theta}. $$

Заметим, что $v^{n-1} = f^{n-1}(\theta) \left(\sqrt{1+\tg^2 \theta}\right)^{n-1} = \left(\dfrac{f(\theta)}{\cos \theta}\right)^{n-1}$. Подстановка в первое уравнение приводит к

$$ f'(\theta) \dot \theta = -g \cos^2 \theta \dfrac{f'(\theta)}{f(\theta)} = - \dfrac{\gamma}{m} \dfrac{f^{n-1}(\theta)}{\cos^{n-1} \theta} f(\theta), $$

разделение переменных приводит к

$$ \dfrac{\mathrm df}{f^{n+1}} = \dfrac{\gamma}{mg} \dfrac{\mathrm d\theta}{\cos^{n+1} \theta}, $$

интегрирование слева и справа в пределах от $\alpha$ до $\theta$ даёт функцию (если $n \ne 0$)

$$ \dfrac{1}{f^n(\theta)} - \dfrac{1}{f^n(\alpha)} = \dfrac{\gamma}{mg} \int \limits_{\alpha}^\theta \dfrac{\mathrm d\vartheta}{\cos^{n+1} \vartheta}. $$

Ответ на вопрос о скорости в верхней точке, таким образом, даётся выражением

$$ v = \dfrac{u \cos \alpha}{\sqrt[n]{1 - \dfrac{\gamma u^n \cos^n \alpha}{mg} \int \limits_0^\alpha \dfrac{\mathrm d\vartheta}{\cos^{n+1} \vartheta}}}. $$

Ответить на вопрос о длине траектории до верхней точки можно следующим образом. Определим функцию $s = s(\theta(t))$ — длину пройденного пути к моменту $t$. Тогда $\dot s = s'(\theta) \dot \theta$ с одной стороны, а с другой стороны $\dot s = v = \dfrac{f(\theta)}{\cos \theta}$, откуда

$$ s'(\theta) \dot \theta \cos \theta = f(\theta). $$

Величину $s(\theta)$ можно получить отсюда двумя способами: либо подставить $\dot \theta \cos \theta = - \dfrac{g \cos^3 \theta}{f(\theta)}$ (см. выше), получая интеграл

$$ s(\theta) - s(\alpha) = - \dfrac{1}{g} \int \limits_{\alpha}^{\theta} \dfrac{f^2(\vartheta) \ \mathrm d\vartheta}{\cos^3 \vartheta}. $$

и как-то его вычисляя, либо подставляя

$$ \dot \theta \cos \theta = \dfrac{\gamma}{m} \dfrac{f^{n-1}(\theta)}{\cos^{n-2} \theta} \dfrac{f(\theta)}{f'(\theta)}, $$

откуда

$$ \mathrm ds = \dfrac{m}{\gamma} \dfrac{f'(\theta) \ \mathrm d\theta}{f(\theta)} \left(\dfrac{\cos \theta}{f(\theta)}\right)^{n-2}. $$

Только в случае $n=2$ это выражение приводится к виду

$$ \mathrm ds = \dfrac{m}{\gamma} \mathrm d(\ln f) $$

и интегрирование даёт

$$ s(\theta) - s(\alpha) = \dfrac{m}{\gamma} \ln \dfrac{f(\theta)}{f(\alpha)}. $$

Учтя, что $s(\alpha) = 0$, окончательно имеем (см. ответ для скорости в верхней точке для $n=2$)

$$ s(0) = s = \dfrac{m}{2 \gamma} \ln \left[ 1 + \dfrac{\gamma u^2}{mg} \cos^2 \alpha \left(\dfrac{\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} + \ln \dfrac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)\right]. $$

-- 12.10.2017, 00:47 --

В задаче именно про верхнюю точку подход с введением параметризации углом $\theta$ между скоростью и горизонталью выбирается из тех соображений, что таким образом мы отыскиваем значения при $\theta = 0$ при том, что для $\theta = \alpha$ поставлены начальные условия.

Для остальных точек траектории, видимо, считать что-то можно только численно.

[pogulyat_vyshel]

закон движения относительно инерциальной СО выражается квадратурами