Непрерывные операторы в пространстве основных функций

[Малкин Станислав]

Доказать, что в пространстве основных функций:

Операции диференциирования и умножения на бесконечно дифференцируемую функцию $\alpha$ есть непрерывным оператором в этом пространстве.

Насчет диференциирования у меня такие мысли:

$ \varphi_k \to \varphi (в нашем пространстве) \Longrightarrow \partial_x^\alpha\varphi_k \to \partial_x^\alpha\varphi$ в R, k \to \infty

Это у нас из определения есть такое. А доказать, насколько я понимаю, нужно тоже самое, только правая часть должна быть в пространстве основных функций. Как из того, что у меня есть сейчас, перейти к тому, что нужно - я не знаю, поэтому прошу "помощь зала".

Насчет умножения на функцию:

Как мы знаем - пространство основных функций - линейно, поэтому я просто написал, что

$ \varphi_k \to \varphi \Longrightarrow \alpha\varphi_k \to \alpha\varphi$ k \to \infty

Однако преподаватель написал на работе "почему?". Вопрос поставил меня в тупик, выходит, что линейность данного пространства не есть понятным объяснением. А как нужно пояснить?

Заранее благодарен.

[Echo-Off]

Малкин Станислав писал(а):

Однако преподаватель написал на работе "почему?". Вопрос поставил меня в тупик, выходит, что линейность данного пространства не есть понятным объяснением.

Из линейности следует, что после домножения на константу $\alpha$ получается $\alpha \varphi_k \to \alpha \varphi$. А Вы тут домножаете (как я понял) на функцию $\alpha(x)$. Так что $\alpha(x) \varphi_k(x) \to \alpha(x) \varphi(x)$ - не очевидно; по крайней мере, из линейности не следует.

ЗЫ:

Цитата:

Тема: Основные функции
Метки: обобщенные функции

Хорошо сказано

[Малкин Станислав]

Echo-Off писал(а):

Малкин Станислав писал(а):

Однако преподаватель написал на работе "почему?". Вопрос поставил меня в тупик, выходит, что линейность данного пространства не есть понятным объяснением.

Из линейности следует, что после домножения на константу $\alpha$ получается $\alpha \varphi_k \to \alpha \varphi$. А Вы тут домножаете (как я понял) на функцию $\alpha(x)$. Так что $\alpha(x) \varphi_k(x) \to \alpha(x) \varphi(x)$ - не очевидно; по крайней мере, из линейности не следует.

Согласен, но тогда встает вопрос - из чего исходить, чтобы доказать требуемое?

Echo-Off писал(а):

ЗЫ:

Цитата:

Тема: Основные функции
Метки: обобщенные функции

Хорошо сказано

Да, выглядит немного глупо, это только для того, чтобы показать из какого это раздела вообще

[AD]

Малкин Станислав писал(а):

Доказать, что в пространстве основных функций:

В каком именно пространстве основных функций? Их много разных.
Телепатия подсказывает, что это пространство $\mathcal{D}$ финитных гладких функций.

Подтвердите мою гипотезу, и после этого ответьте, что значит сходимость в пространстве основных функций. Ну типа $\varphi_k\xrightarrow[k\to\infty]{\mathcal{D}}\varphi$ означает, что ...

[Малкин Станислав]

AD писал(а):

Малкин Станислав писал(а):

Доказать, что в пространстве основных функций:

В каком именно пространстве основных функций? Их много разных.
Телепатия подсказывает, что это пространство $\mathcal{D}$ финитных гладких функций.

Верно, именно об этом пространстве и идет речь, я специально указал метку "обобщенные функции", чтобы было понятно.

AD писал(а):

Подтвердите мою гипотезу, и после этого ответьте, что значит сходимость в пространстве основных функций. Ну типа $\varphi_k\xrightarrow[k\to\infty]{\mathcal{D}}\varphi$ означает, что ...

а) существует такое число R>0, что supp \varphi_k \subset U_R;
б) для каждого \alpha

\partial^\alpha\varphi_k(x) \xrightarrow[k\to\infty]{\mathrm{x \in R^n}} \partial^\alpha\varphi(x)$, x \in R^n

[AD]

Малкин Станислав писал(а):

я специально указал метку "обобщенные функции", чтобы было понятно.

А обобщенные функции над пространствами $\mathcal{S}$ или $\mathcal{E}$ - это не обобщенные функции, по-вашему?

Малкин Станислав примерно это писал(а):

$\partial^\alpha\varphi_k(x) \xrightarrow[k\to\infty]{x \in \mathbb{R}^n}} \partial^\alpha\varphi(x)$

Обычно требуют равномерную сходимость. Хотя, наверное, в этом случае получается эквивалентно, но тут еще посоображать надо. Второй раз $x\in\mathbb{R}^n$ можно не писать.

Итак, нам надо доказать, что $\partial^\alpha(f(x) \varphi_k(x)) \rightrightarrows \partial^\alpha(f(x) \varphi(x))$ для всех мультииндексов $\alpha$. Для этого проще всего раскрыть производные по формуле дифференцирования произведения, и затем оценить $|\partial^\alpha(f(x) \varphi_k(x)) - \partial^\alpha(f(x) \varphi(x))|$ чем-то вида $\sum\limits_{\beta\le\alpha}C(f,\beta)|\partial^{\beta}\varphi_k(x)-\partial^{\beta}\varphi(x)|$. Константа $C$ не зависит от $\varphi$, а сходимость в каждом слагаемом следует из сходимости $\varphi_k$ к $\varphi$.
_________________

Да, и одна тонкость еще. Что такое по определению непрерывый оператор? Дело в том, что $\mathcal{D}$ не является нормированным пространством. Поэтому понятие непрерывного оператора требует пояснений. Если вы по определению считаете, что оператор $A\colon\mathcal{D}\to\mathcal{D}$ непрерывен, если $A(\varphi_k)\xrightarrow[k\to\infty]{\mathcal{D}}A(\varphi)$ при $\varphi_k\xrightarrow[k\to\infty]{\mathcal{D}}\varphi$, то проблем нет. А если вы вводили на $\mathcal{D}$ топологию или структуру локально-выпуклого пространства, то нужно еще объяснить, почему это условие эквивалентно непрерывности в соответствующей топологии (для произвольных топологических пространств это неверно).

[Малкин Станислав]

AD писал(а):

Малкин Станислав писал(а):

я специально указал метку "обобщенные функции", чтобы было понятно.

А обобщенные функции над пространствами $\mathcal{S}$ или $\mathcal{E}$ - это не обобщенные функции, по-вашему?

Этого я не утверждал. Конечно тоже обобщенные, но речь шла про обобщенные, построенные на функционалах из основных функций. Но речь не об этом.

Добавлено спустя 3 минуты 8 секунд:

Цитата:

Да, и одна тонкость еще. Что такое по определению непрерывый оператор? Дело в том, что $\mathcal{D}$ не является нормированным пространством. Поэтому понятие непрерывного оператора требует пояснений. Если вы по определению считаете, что оператор $A\colon\mathcal{D}\to\mathcal{D}$ непрерывен, если $A(\varphi_k)\xrightarrow[k\to\infty]{\mathcal{D}}A(\varphi)$ при $\varphi_k\xrightarrow[k\to\infty]{\mathcal{D}}\varphi$, то проблем нет.

Речь шла именно об этом случае, так, как наше пространство не нормировано и мы по определению считаем так, как Вы указали выше.

[AD]

Малкин Станислав писал(а):

Конечно тоже обобщенные, но речь шла про обобщенные, построенные на функционалах из основных функций.

Пространства $\mathcal{S}$ и $\mathcal{E}$ - это *тоже* *такие* *пространства* *основных* *функций*.

[Малкин Станислав]

AD писал(а):

Малкин Станислав писал(а):

Конечно тоже обобщенные, но речь шла про обобщенные, построенные на функционалах из основных функций.

Пространства $\mathcal{S}$ и $\mathcal{E}$ - это *тоже* *такие* *пространства* *основных* *функций*.

Да, Вы правы. Я что-то в облаках витаю. Но суть же Вы поняли, верно?:)

[AD]

Ну с некоторым удивлением, но понял. А вы идею решения поняли?

[Малкин Станислав]

AD писал(а):

Ну с некоторым удивлением, но понял. А вы идею решения поняли?

Идею понял - воспользоваться все тем же обозначением сходимости, меня тут только один вопрос волнует - сегодня препода спрашивал на эту тему, он мне какой-то другой путь пытался показать - но в его случае - я как раз не понял

Ну хорошо, про дифференциирование в принципе идея понятна, я там сам разберусь дальше. Ну или спрошу еще, что будет не понятно.

А что делать и как крутить умножение на бесконечно дифференциируемую функцию? Как показать, что операция умножения на нее - тоже непрерывный оператор в данном пространстве.

[AD]

Малкин Станислав писал(а):

Ну хорошо, про дифференциирование в принципе идея понятна, я там сам разберусь дальше.

Малкин Станислав писал(а):

А что делать и как крутить умножение на бесконечно дифференциируемую функцию?

Я разбирал как раз случай умножения. С дифференцированием еще проще.
Ну в обоих случаях, фактически, проверяем определение. Никакой глубокой теории не используется.

[Малкин Станислав]

Выходит под f(x) Вы подразумевали мою функцию \alpha(x)?

[AD]

Ну да. Потому что $\alpha$ занято под мультииндекс.