2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Lp-норма в пространстве с мерой, обозначения
Сообщение10.10.2017, 15:27 


08/09/13
210
В одном упражнении встретил слова "$(X, \mu)$ is a mesuare space and $f: X \to {\mathbb C}$ is measurable...", и дальше идут некоторые утверждения про нечто, обозначающееся ${\vert \vert f \vert \vert}_{L^p (X, \mu)}$. Такого раньше обозначения раньше не встречал. Предполагаю, что ${\vert \vert f \vert \vert}_{L^p (X, \mu)} = {\left({\int \limits_{X} {|f(x)|^p d\mu}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, но есть сомнения (исходя из задачи, где это встретилось). Эта штука точно нелинейна по $\mu$?
Кстати, правильно ли я понимаю, что в случае $X={\mathbb R}$ при $\mu({\mathbb R})=1$ это будет то же самое, что ${\left({\int {|f(x)|^p \lambda(x) dx}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, где $\lambda(x)$ - плотность вероятностного распределения, задаваемого мерой $\mu$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Lp-норма в пространстве с мерой, обозначения
Сообщение10.10.2017, 15:56 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
fractalon в сообщении #1254509 писал(а):
Предполагаю, что ${\vert \vert f \vert \vert}_{L^p (X, \mu)} = {\left({\int \limits_{X} {|f(x)|^p d\mu}}\right)}^{\frac{1}{p}}$

правильно
fractalon в сообщении #1254509 писал(а):
Кстати, правильно ли я понимаю, что в случае $X={\mathbb R}$ при $\mu({\mathbb R})=1$ это будет то же самое, что ${\left({\int {|f(x)|^p \lambda(x) dx}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, где $\lambda(x)$ - плотность вероятностного распределения, задаваемого мерой $\mu$?


вообще говоря нет, мера может оказаться сосредоточенной в одной единственной точке, например

 Профиль  
                  
 
 Re: Lp-норма в пространстве с мерой, обозначения
Сообщение10.10.2017, 16:03 


27/08/16
11444
fractalon в сообщении #1254509 писал(а):
Кстати, правильно ли я понимаю, что в случае $X={\mathbb R}$ при $\mu({\mathbb R})=1$ это будет то же самое, что ${\left({\int {|f(x)|^p \lambda(x) dx}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, где $\lambda(x)$ - плотность вероятностного распределения, задаваемого мерой $\mu$?
Это так только для непрерывных распределений, у которых есть плотность. Для дискретных распределений интеграл Лебега то же самое, что сумма ряда. Бывают ещё сингулярные и смешанные распределения: любое распределение можно разложить на сумму дискретного, непрерывного и сингулярного распределений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: STR


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group