2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Lp-норма в пространстве с мерой, обозначения
Сообщение10.10.2017, 15:27 


08/09/13
210
В одном упражнении встретил слова "$(X, \mu)$ is a mesuare space and $f: X \to {\mathbb C}$ is measurable...", и дальше идут некоторые утверждения про нечто, обозначающееся ${\vert \vert f \vert \vert}_{L^p (X, \mu)}$. Такого раньше обозначения раньше не встречал. Предполагаю, что ${\vert \vert f \vert \vert}_{L^p (X, \mu)} = {\left({\int \limits_{X} {|f(x)|^p d\mu}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, но есть сомнения (исходя из задачи, где это встретилось). Эта штука точно нелинейна по $\mu$?
Кстати, правильно ли я понимаю, что в случае $X={\mathbb R}$ при $\mu({\mathbb R})=1$ это будет то же самое, что ${\left({\int {|f(x)|^p \lambda(x) dx}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, где $\lambda(x)$ - плотность вероятностного распределения, задаваемого мерой $\mu$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Lp-норма в пространстве с мерой, обозначения
Сообщение10.10.2017, 15:56 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
fractalon в сообщении #1254509 писал(а):
Предполагаю, что ${\vert \vert f \vert \vert}_{L^p (X, \mu)} = {\left({\int \limits_{X} {|f(x)|^p d\mu}}\right)}^{\frac{1}{p}}$

правильно
fractalon в сообщении #1254509 писал(а):
Кстати, правильно ли я понимаю, что в случае $X={\mathbb R}$ при $\mu({\mathbb R})=1$ это будет то же самое, что ${\left({\int {|f(x)|^p \lambda(x) dx}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, где $\lambda(x)$ - плотность вероятностного распределения, задаваемого мерой $\mu$?


вообще говоря нет, мера может оказаться сосредоточенной в одной единственной точке, например

 Профиль  
                  
 
 Re: Lp-норма в пространстве с мерой, обозначения
Сообщение10.10.2017, 16:03 


27/08/16
11490
fractalon в сообщении #1254509 писал(а):
Кстати, правильно ли я понимаю, что в случае $X={\mathbb R}$ при $\mu({\mathbb R})=1$ это будет то же самое, что ${\left({\int {|f(x)|^p \lambda(x) dx}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, где $\lambda(x)$ - плотность вероятностного распределения, задаваемого мерой $\mu$?
Это так только для непрерывных распределений, у которых есть плотность. Для дискретных распределений интеграл Лебега то же самое, что сумма ряда. Бывают ещё сингулярные и смешанные распределения: любое распределение можно разложить на сумму дискретного, непрерывного и сингулярного распределений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group