Lp-норма в пространстве с мерой, обозначения

[fractalon]

В одном упражнении встретил слова "$(X, \mu)$ is a mesuare space and $f: X \to {\mathbb C}$ is measurable...", и дальше идут некоторые утверждения про нечто, обозначающееся ${\vert \vert f \vert \vert}_{L^p (X, \mu)}$. Такого раньше обозначения раньше не встречал. Предполагаю, что ${\vert \vert f \vert \vert}_{L^p (X, \mu)} = {\left({\int \limits_{X} {|f(x)|^p d\mu}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, но есть сомнения (исходя из задачи, где это встретилось). Эта штука точно нелинейна по $\mu$?
Кстати, правильно ли я понимаю, что в случае $X={\mathbb R}$ при $\mu({\mathbb R})=1$ это будет то же самое, что ${\left({\int {|f(x)|^p \lambda(x) dx}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, где $\lambda(x)$ - плотность вероятностного распределения, задаваемого мерой $\mu$?

[pogulyat_vyshel]

fractalon в сообщении #1254509 писал(а):

Предполагаю, что ${\vert \vert f \vert \vert}_{L^p (X, \mu)} = {\left({\int \limits_{X} {|f(x)|^p d\mu}}\right)}^{\frac{1}{p}}$

правильно

fractalon в сообщении #1254509 писал(а):

Кстати, правильно ли я понимаю, что в случае $X={\mathbb R}$ при $\mu({\mathbb R})=1$ это будет то же самое, что ${\left({\int {|f(x)|^p \lambda(x) dx}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, где $\lambda(x)$ - плотность вероятностного распределения, задаваемого мерой $\mu$?

вообще говоря нет, мера может оказаться сосредоточенной в одной единственной точке, например

[realeugene]

fractalon в сообщении #1254509 писал(а):

Кстати, правильно ли я понимаю, что в случае $X={\mathbb R}$ при $\mu({\mathbb R})=1$ это будет то же самое, что ${\left({\int {|f(x)|^p \lambda(x) dx}}\right)}^{\frac{1}{p}}$, где $\lambda(x)$ - плотность вероятностного распределения, задаваемого мерой $\mu$?

Это так только для непрерывных распределений, у которых есть плотность. Для дискретных распределений интеграл Лебега то же самое, что сумма ряда. Бывают ещё сингулярные и смешанные распределения: любое распределение можно разложить на сумму дискретного, непрерывного и сингулярного распределений.