Здравствуйте. По поводу первой задачи.
У меня получается примерно следующее решение, правда, несколько громоздкое.
Запишем условие задачи:
![$$ \[x_5 < x_4 < x_3 < x_2 < x_1\] $$ \[x_5 < x_4 < x_3 < x_2 < x_1\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/c/58ccff9b352a8b83b75e98e3da246cba82.png)
и
Сделаем первую оценку: "пойдём от"
![\[x_5 \] \[x_5 \]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/d/3dd0e397a40fb5d4bda138d3ad173f0882.png)
:) - допустим, что на каждом диктанте делалось на одну ошибку больше,
тогда
![\[x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 3 \cdot x_5 + (x_5 + 3) + (x_5 + 2) + (x_5 + 1) + x_5 \leqslant 31\] \[x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 3 \cdot x_5 + (x_5 + 3) + (x_5 + 2) + (x_5 + 1) + x_5 \leqslant 31\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/9/6290ea524ac21aad898a42ac0cbc1cc982.png)
,
упрощая, в итоге получим:
Теперь другая оценка:
![\[x_1 - x_5 \geqslant 4\] \[x_1 - x_5 \geqslant 4\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/f/85f417196185e7f408663c7f55a6c3f082.png)
(4 - это кол-во диктантов за вычетом одного),
в итоге получаем:
![\[x_5 \geqslant 2\] \[x_5 \geqslant 2\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/2/a020c4b0b39344302bf280b26d0ced5a82.png)
. Однако, заметим, что если
![\[x_5 = 2\] \[x_5 = 2\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/5/72565b58249b85db63a115b6f67d900782.png)
, то
![\[x_1 = 6\] \[x_1 = 6\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/c/1bc53de4fa2812569346248823f8d5fb82.png)
, но
![\[5x_1 = 5 \cdot 6 = 30 < 31\] \[5x_1 = 5 \cdot 6 = 30 < 31\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/6/0569b81d597cd4bbac940e5c904ab1fa82.png)
,
т.е. остаётся такой вариант:
последний диктант - 3 ошибки, первый - 9 ошибок.
Дальше методом перебора остаётся только два варианта решений (9; 8; 6; 5; 3) и (9; 8; 7; 4; 3)
в обоих случаях получается, что во втором диктанте было сделано 8 ошибок.