2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вступительные в НГУ: текстовая задача
Сообщение09.06.2008, 05:54 
1. В пяти диктантах школьник ошибся 31 раз, причем в каждом следующем диктанте он делал ошибок меньше, чем в предыдущем. В последнем диктанте школьник ошибся в три раза меньше, чем в первом. Сколько ошибок допустил школьник во втором диктанте?
это ведь арифм. прогрессия, выражается первый член через пятый, и дальше считается...
по всей видимости задача поставлена некорректно, т.к. решения получаются дробные о_О

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 06:40 
Strelka
1. Так может там и не арифметическая прогрессия? И даже и не геометрическая ( НГУ же, прогрессии навряд ли будут давать на вступительных :) ).
Обозначьте число ошибок в первом диктанте как x, тогда в последнем будет x/3. Имеем 4 неизвестные, сумма которых равна 31. Можно записать неравенства ( оценки и сверху и снизу ), используя то, что "в каждом следующем...".

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 07:05 
x>a2
a2>a3
a3>a4
a4>x/3

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 07:10 
Strelka
Сумму запишите и оцените сверху и снизу.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 08:46 
Здравствуйте. По поводу первой задачи.

У меня получается примерно следующее решение, правда, несколько громоздкое.

Запишем условие задачи: $$ \[x_5  < x_4  < x_3  < x_2  < x_1\] и \[x_1  = 3 \cdot x_5 \]

Сделаем первую оценку: "пойдём от" \[x_5 \]:) - допустим, что на каждом диктанте делалось на одну ошибку больше,
тогда \[x_1  + x_2  + x_3  + x_4  + x_5  = 3 \cdot x_5  + (x_5  + 3) + (x_5  + 2) + (x_5  + 1) + x_5  \leqslant 31\],
упрощая, в итоге получим: \[x_5  \leqslant 3\]

Теперь другая оценка: \[x_1  - x_5  \geqslant 4\] (4 - это кол-во диктантов за вычетом одного),
в итоге получаем: \[x_5  \geqslant 2\]. Однако, заметим, что если \[x_5  = 2\], то \[x_1  = 6\], но \[5x_1  = 5 \cdot 6 = 30 < 31\],
т.е. остаётся такой вариант:
последний диктант - 3 ошибки, первый - 9 ошибок.
Дальше методом перебора остаётся только два варианта решений (9; 8; 6; 5; 3) и (9; 8; 7; 4; 3)
в обоих случаях получается, что во втором диктанте было сделано 8 ошибок.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 10:36 
ОГо че то сложно, неужели задание решается подбором о_О

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 10:56 
Stanislav Budarin писал(а):
т.е. остаётся такой вариант:
последний диктант - 3 ошибки, первый - 9 ошибок.
Дальше методом перебора остаётся только два варианта решений (9; 8; 6; 5; 3) и (9; 8; 7; 4; 3)
в обоих случаях получается, что во втором диктанте было сделано 8 ошибок.

что крайние суть 9 и 3 -- это понятно. Однако куда делись остальные варианты -- в которых на втором шаге 7 или 6?

Ведь кроме монотонности для соседних чисел никаких ограничений нет.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 11:06 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Ведь кроме монотонности для соседних чисел никаких ограничений нет.
Всего 31 ошибка. Это тоже ограничение.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 11:48 
TOTAL писал(а):
ewert писал(а):
Ведь кроме монотонности для соседних чисел никаких ограничений нет.
Всего 31 ошибка. Это тоже ограничение.

да, и впрямь. Но перебор какой-то уж действительно тупой.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 12:40 
ewert писал(а):
Однако куда делись остальные варианты -- в которых на втором шаге 7 или 6?

Если предположить, что на втором диктанте было допущено 7 ошибок, то получается, что на 3-й и 4-й диктанты прийдется 31-(9+7+3)=12 ошибок. Как Вы их раскидаете на два оставшихся диктанта?

Наверное, это тест на сообразительность для абитуриентов?:)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group