Вступительные в НГУ: текстовая задача

[Strelka]

1. В пяти диктантах школьник ошибся 31 раз, причем в каждом следующем диктанте он делал ошибок меньше, чем в предыдущем. В последнем диктанте школьник ошибся в три раза меньше, чем в первом. Сколько ошибок допустил школьник во втором диктанте?
это ведь арифм. прогрессия, выражается первый член через пятый, и дальше считается...
по всей видимости задача поставлена некорректно, т.к. решения получаются дробные о_О

[id]

Strelka
1. Так может там и не арифметическая прогрессия? И даже и не геометрическая ( НГУ же, прогрессии навряд ли будут давать на вступительных ).
Обозначьте число ошибок в первом диктанте как x, тогда в последнем будет x/3. Имеем 4 неизвестные, сумма которых равна 31. Можно записать неравенства ( оценки и сверху и снизу ), используя то, что "в каждом следующем...".

[Strelka]

x>a2
a2>a3
a3>a4
a4>x/3

[id]

Strelka
Сумму запишите и оцените сверху и снизу.

[Stanislav Budarin]

Здравствуйте. По поводу первой задачи.

У меня получается примерно следующее решение, правда, несколько громоздкое.

Запишем условие задачи: $$ \[x_5 < x_4 < x_3 < x_2 < x_1\] и

\[x_1 = 3 \cdot x_5 \]

Сделаем первую оценку: "пойдём от"

\[x_5 \]

:) - допустим, что на каждом диктанте делалось на одну ошибку больше,
тогда

\[x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 3 \cdot x_5 + (x_5 + 3) + (x_5 + 2) + (x_5 + 1) + x_5 \leqslant 31\]

,
упрощая, в итоге получим:

\[x_5 \leqslant 3\]

Теперь другая оценка:

\[x_1 - x_5 \geqslant 4\]

(4 - это кол-во диктантов за вычетом одного),
в итоге получаем:

\[x_5 \geqslant 2\]

. Однако, заметим, что если

\[x_5 = 2\]

, то

\[x_1 = 6\]

, но

\[5x_1 = 5 \cdot 6 = 30 < 31\]

,
т.е. остаётся такой вариант:
последний диктант - 3 ошибки, первый - 9 ошибок.
Дальше методом перебора остаётся только два варианта решений (9; 8; 6; 5; 3) и (9; 8; 7; 4; 3)
в обоих случаях получается, что во втором диктанте было сделано 8 ошибок.

[Strelka]

ОГо че то сложно, неужели задание решается подбором о_О

[ewert]

Stanislav Budarin писал(а):

т.е. остаётся такой вариант:
последний диктант - 3 ошибки, первый - 9 ошибок.
Дальше методом перебора остаётся только два варианта решений (9; 8; 6; 5; 3) и (9; 8; 7; 4; 3)
в обоих случаях получается, что во втором диктанте было сделано 8 ошибок.

что крайние суть 9 и 3 -- это понятно. Однако куда делись остальные варианты -- в которых на втором шаге 7 или 6?

Ведь кроме монотонности для соседних чисел никаких ограничений нет.

[TOTAL]

ewert писал(а):

Ведь кроме монотонности для соседних чисел никаких ограничений нет.

Всего 31 ошибка. Это тоже ограничение.

[ewert]

TOTAL писал(а):

ewert писал(а):

Ведь кроме монотонности для соседних чисел никаких ограничений нет.

Всего 31 ошибка. Это тоже ограничение.

да, и впрямь. Но перебор какой-то уж действительно тупой.

[Stanislav Budarin]

ewert писал(а):

Однако куда делись остальные варианты -- в которых на втором шаге 7 или 6?

Если предположить, что на втором диктанте было допущено 7 ошибок, то получается, что на 3-й и 4-й диктанты прийдется 31-(9+7+3)=12 ошибок. Как Вы их раскидаете на два оставшихся диктанта?

Наверное, это тест на сообразительность для абитуриентов?:)