Квадратный корень - это функция?

[hiraev]

Является ли множество упорядоченных пар $F = \{(x, y) : x \in X, y \in Y, y = \sqrt x\}$ функцией?
Определение функции по Кудрявцеву:

Цитата:

Всякое множество $f=\{(x, y)\}$ упорядоченных пар $(x, y)$, $x \in X$, $y \in Y$ такое, что для любых пар $(x', y') \in f$ и $(x'', y'') \in f$ из условия $y' \ne y''$ следует,
что $x' \ne x''$, называется функцией или, что то же, отображением.

Рассмотрим $F$. Для любых $(x', y') \in F$ и $(x'', y'') \in F$ из условия $y' \ne y''$ НЕ следует, что $x' \ne x''$.
Пример, $y = \sqrt4, y' = 2, y'' = -2; y' \ne y''$, получаем пары $(4, 2), (4, -2)$ НО $x' = x''$, следовательно множество $F$ не является функцией.

Верно ли я рассуждаю?

[Red_Herring]

Арифметический корень это функция. И $\sqrt{z}$ традиционно обозначает именно арифметический корень.

[iifat]

Тонкости. Включать ли ноль в множество натуральных числ? Меняется ли угол в полярной системе координат от $0$ до $2\pi$, от $-\pi$ до $\pi$, или же от нуля до бесконечности? Функция ли квадратный корень (положительная ветвь на неотрицательной полуоси — да, однозначно; а вот обычным способом понимаемый...)?
Можно так, можно эдак. Теоремы слегка меняются. Просто надо запомнить, что есть варианты, имхо.

[kotenok gav]

Если корень алгебраический - вы правы.
Если корень арифметический (а это бывает чаще всего) - вы не правы.

[gris]

Все школьники наизусть знают формулу корней квадратного уравнения. Там есть плюс-минус. А если бы $\sqrt$ был "двузначной функцией", то зачем нужна такая избыточность? То есть, обычно корень понимается именно как функция

[Mikhail_K]

hiraev в сообщении #1254074 писал(а):

Является ли множество упорядоченных пар $F = \{(x, y) : x \in X, y \in Y, y = \sqrt x\}$ функцией?

Прежде всего, Вы должны определить $X$ и $Y$, без этого у Вас записана бессмыслица. Например, можно взять $X=[0,+\infty)$, $Y=\mathbb{R}$ или $X=[0,+\infty)$, $Y=[0,+\infty)$.

hiraev в сообщении #1254074 писал(а):

получаем пары $(4, 2), (4, -2)$

Если корень арифметический, то $-2$ не есть корень из $4$. Корень из $4$ - это только $2$. И арифметический корень является функцией (при обоих указанных выше выборах $X$ и $Y$).

Алгебраический корень (это когда $\sqrt{4}=\pm 2$) чаще всего используется в комплексном анализе. Там это действительно не функция (не однозначная функция). Но если взять в качестве $X$ подходящую риманову поверхность, корень снова становится настоящей функцией.

[hiraev]

Спасибо всем за ответы. Вопрос исчерпан.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1254079 писал(а):

Там есть плюс-минус. А если бы $\sqrt$ был "двузначной функцией", то зачем нужна такая избыточность?

Я только что (т.е. не очень давно) столкнулся с этой проблемой вместе с моими орлами и орлицами.

Надо было решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами. Было надо, так как я их заставлял. И, естественно, возник вопрос: ставить ли плюс-минус перед корнем?...

Потому что я им перед этим явно оговаривал, что в Цэ -- тут вам не там. Тут нет выделенного направления. Но про многозначные функции как таковые, естественно, умолчал за неуместностью.

Сошлись на том, что бог с ними, с формальностями. Хошь ставь, а хошь не ставь -- результат не изменится. В конце-то концов все ежи знают, что у квадратного уравнения два решения. И что для нахождения второго значения квадратного корня из дискриминанта надо просто поменять все знаки.

Но! ежи у меня не простые, а творческие. И когда им параллельно в тех же заданиях требовалось решать комплексную системку линейных уравнений два на два -- они, ничтоже сумняшеся, после нахождения первой неизвестной и перед подстановкой для второй так же непринуждённо меняли знаки.

Не все, слава богу (арифметических ошибок было гораздо больше). Но -- довольно многие...