Стержень на перекладине

[pogulyat_vyshel]

еще одна гравицапа для развлечения почтенной публики

Горизонтальный стол (на рисунке заштрихован точками) вращается с постоянной угловой скоростью $\Omega>0$ вокруг неподвижной вертикальной оси.
На столе укреплен турник с горизонтальной перекладиной $AB$. На перекладину подвешен за свою середину $S$ тонкий массивный однородный стержень. Стержень не может скользить вдоль перекладины, но может свободно крутиться вокруг нее. Угол между стержнем и перекладиной остается все время прямым.
Найти частоту малых колебаний стержня около горизонтального положения равновесия. (Малые колебания и положение равновесия – относительно наблюдателя, сидящего на столе.)

[fred1996]

(Оффтоп)

$\omega=2\Omega$

[pogulyat_vyshel]

nope

[realeugene]

(Оффтоп)

$\infty$

[pogulyat_vyshel]

nope

[svv]

(Оффтоп)

$\omega=\Omega\cos\gamma$
Здесь $\gamma$ — это угол между двумя вертикальными плоскостями: одна проходит через ось вращения стола и $S$, вторая — плоскость вращения стержня вокруг перекладины. Если они совпадают, то просто $\omega=\Omega$.

[realeugene]

(Оффтоп)

Да, косинус до квадратичного члена стоило бы мне раскладывать поаккуратнее. Тогда остался вариант $\omega=\Omega$ (если я всё правильно проинтегрировал). Любопытно, существует ли интуитивный способ решения этой задачи без использования потенциала центробежной силы?

-- 07.10.2017, 22:09 --

svv в сообщении #1253981 писал(а):

Здесь $\gamma$ — это угол между двумя вертикальными плоскостями

У меня получилось, что от этого угла ответ не зависит.

[svv]

Возьмите крайний случай: если расположить перекладину в радиальном направлении, у стержня любое положение будет положением равновесия. Чем ближе к этому, тем ленивее он будет возвращаться.

[realeugene]

svv в сообщении #1253985 писал(а):

Возьмите крайний случай: если расположить перекладину в радиальном направлении, у стержня любое положение будет положением равновесия.

Нет. Концы стержня в горизонтальном положении в такой конфигурации расположены дальше от оси, чем в вертикальном положении. Примените теорему Пифагора.

[svv]

realeugene
Формально я выразился неточно, не упомянув, что пренебрегаю членами порядка $\frac 1 r$ ($r$ — расстояние от оси вращения стола), но фактически — ведь моё сообщение достаточно убедительно показало, что угол $\gamma$ там должен быть. Не будьте таким формалистом.

[realeugene]

svv в сообщении #1253987 писал(а):

ведь моё сообщение достаточно убедительно показало, что угол $\gamma$ там должен быть.

Там нет этого угла. Потенциальная энергия стержня от него не зависит.

$$r^2=(x\cos\gamma)^2+(R+x\sin\gamma)^2=x^2+R^2+2Rx\sin\gamma$$

Последний линейный член при интегрировании между симметричными пределами исчезает.

[lel0lel]

У меня тоже ответ получился без угла. Потом появилась такая мысль, что колебания порождённые периодическим "воздействием" (в данном случае вращением платформы) без участия каких-либо иных полей просто не могут быть никакой другой частоты, кроме как частота "воздействия".
Может быть не слишком удачный пример, но вспомнился случай с экзамена в аспирантуру, когда один нерадивый студент предположил, что частота волны может измениться при переходе из одной среды в другую. Преподаватели были огорчены, услышав такое, но оценку снижать не стали.

Ещё независимость ответа от угла следует из таких рассуждений: если мы мысленно установим качели, чтобы ось вращения платформы проходила через точку крепления стержня, то ответ в этом случае $\omega=\Omega$. Поэтому если бы зависимость от угла была, то должна быть ещё зависимость от расстояния между осью и плоскостью качелей, иначе мы не получим предельный случай

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1253983 писал(а):

Тогда остался вариант $\omega=\Omega$

это верно

realeugene в сообщении #1253983 писал(а):

У меня получилось, что от этого угла ответ не зависит.

и это верно

realeugene в сообщении #1253983 писал(а):

если я всё правильно проинтегрировал). Любопытно, существует ли интуитивный способ решения этой задачи без использования потенциала центробежной силы?

а интегрировать ни чего не надо. всё уже давно проинтегрировали -- моменты инерции твердого тела это называется, но эти моменты сокращаются из уравнений.
Перед нами лагранжева система с одной степенью свободы; обобщенная координата -- угол между стержнем и горизонтальной плоскостью. Лагранжиан пишется совершенно стандартно относительно инерциальной системы. Этот лагранжиан состоит только из кинетической энергии, но она, как это часто бывает в неавтономных системах, содержит слагаемое, не зависящее от скоростей. Это слагаемое естественно назвать потенциалом сил инерции.
Кстати, от угла $\gamma$ не зависит не только линеризованная система, но и обычная ,полная, без линеризаций

[svv]

Да, вы все правы. Нашёл ошибку.

[fred1996]

fred1996 в сообщении #1253947 писал(а):

(Оффтоп)

$\omega=2\Omega$

Да ошибочка вышла. Обозначил длину стержня $2R$, а потом в момент инерции почему-то подставил просто $R$
Получается действительно $\omega=\Omega$