Как возникает сила трения покоя при вращении тела на диске

[Sergey from Sydney]

Anna from Svetl в сообщении #1252145 писал(а):

А вот с бруском на вращающемся диске я разобраться не могу. У меня получается, что в каждый момент времени диск стремится сместиться относительно бруска по касательной к окружности, по которой двигаются точки диска в месте расположения бруска. Но тогда сила трения покоя должна была бы быть направлена по касательной к окружности, противоположно линейной скорости той точки диска, в которой лежит брусок (если считать брусок точечным). Откуда берется сила, направленная к центру кривизны?

Рассмотрим брусок на вращающемся шероховатом диске. Пусть угловая скорость диска $\omega$, расстояние от центра диска до бруска $R$. Пусть в данный момент времени координаты бруска в неподвижной системе координат с началом в центре диска $(R, 0)$.

Пусть у нас есть "волшебная кнопка", которая позволяет выключить трение. И именно в этот момент мы ее нажали. Тогда через бесконечно малое время $dt$ координаты бруска будут $(R, R \omega dt)$. А координаты точки диска, которая в момент нажатия кнопки была под бруском, будут $(R\cos \omega dt, R \sin \omega dt)$.

А теперь вычислим разность этих векторов, учитывая, что $\omega dt$ бесконечно мала:

$dx = R(\cos \omega dt-1) = -\frac R 2\omega^2 dt^2 + o(dt^2)$
$dy = R(\sin \omega dt-\omega dt) = -\frac R 6\omega^3 dt^3 + o(dt^3)$

Т.е. координата по $x$ - величина меньшего порядка малости, чем по $y$. Т.е. в "первом приближении" можно считать, что точка из-под бруска выскальзываeт по оси $x$ в направлении к центру диска.

-- Пн окт 02, 2017 21:39:44 --

Anna from Svetl в сообщении #1252339 писал(а):

При чем тут центробежная сила, если я рассматриваю задачу в инерциально СО?

А это часто встречается: убеждение, что центробежная сила - это реальная сила, которая всегда действует на тело, движущееся по окружности, и возникает "потому что движение круговое". Что, разумеется, неверно - это фиктивная сила, которая вводится в уравнения движения во вращающейся системе отсчета. Вы это понимаете, а вот другие - не всегда.

[Anna from Svetl]

zvn333
Не могу с Вами согласиться, по крайней мере в данном случае. Представьте, что Вы объясняете решение задачи о движении тела на диске. Вы говорите (как и написано в учебниках), что тело движется по окружности, а не улетает с диска, поскольку на него действует сила трения покоя. Неужели вопрос о происхождении этой силы не будет разумным? Если человек знает, что сила трения покоя возникает при попытке относительного смещения тел, равна по модулю и противоположна по направлению смещающей силе, то у него непременно возникнет вопрос, что и куда пытается сместиться.
Кроме того, я бы не сказала что уравнение не несет в себе причины и следствия. Взаимодействие тел является причиной изменения их движения, т.е. появления ускорения. Сила является мерой взаимодействия тел, следовательно, на мой взгляд, вполне можно утверждать, что действие силы является причиной появления ускорения. Да, можно, конечно, описывать движения без привлечения сил, но если рассуждать в рамках силового описания, это верно.

Sergey from Sydney
Спасибо.
Не понимаю, откуда люди узнают про центробежную силу. В школьных учебниках неинерциальные системы отсчета обычно только упоминаются без подробностей. Все задачи решаются в инерциальных СО. А в вузовских учебниках, вроде, вопрос освещен вполне ясно.

[zvn333]

Anna from Svetl в сообщении #1252526 писал(а):

Неужели вопрос о происхождении этой силы не будет разумным?

Он разумен, но никак не способствует решению данной задачи.

Anna from Svetl в сообщении #1252526 писал(а):

Кроме того, я бы не сказала что уравнение не несет в себе причины и следствия. Взаимодействие тел является причиной изменения их движения, т.е. появления ускорения.

Это все - трактовка, к.т. помогает или мешает пониманию.
Вот пусть в уравнении что-то, что Вы считаете "причиной" неизвестно, но по условию мы уже знаем "следствие". Будет ли допустимо взять и просто решить уравнение и вычислить "причину" ?
Можно ведь сделать это и про себя упрямо прошептать "но все равно причина была в силе".

(Оффтоп)

А я в этот момент прошепчу "но причина была в ускорении".

[Anna from Svetl]

zvn333
Так ведь у меня вопрос был не в решении задачи, а в происхождении силы.
Трактовка-трактовкой, но Вы же не будете отрицать, что именно взаимодействие - причина появления ускорения в инерциальных СО?

[zvn333]

Происхождение силы трения можно понимать очень по разному : можно например обсуждать вообще силу трения, ее механизм - этот вопрос вынесен из данной темы в другую.
Не согласен. Сила может вполне зависеть от ускорения и придется мучится вопросами вроде старшинства курица-яйцо. Уравнение связывает величины, но не содержит указаний на причину.

[Sergey from Sydney]

Anna from Svetl в сообщении #1252526 писал(а):

Взаимодействие тел является причиной изменения их движения, т.е. появления ускорения. Сила является мерой взаимодействия тел, следовательно, на мой взгляд, вполне можно утверждать, что действие силы является причиной появления ускорения.

Вы все правильно говорите. И про взаимодействие, и про силу. Сила - мера взаимодействия, действует, пока есть взаимодействие, и перестает действовать, когда взаимодействие прекращается.

Anna from Svetl в сообщении #1252526 писал(а):

Не понимаю, откуда люди узнают про центробежную силу.

Узнают понятно откуда - где-то слышали. А потом такой человек, полностью забывший (или ввобще не знавший) физику, вдруг задается вопросом, почему спутник не падает на Землю. И рассуждает: вот самолет не падает, потому что на него действует подъемная сила крыльев. Значит, и на спутник должна действовать какая-то подъемная сила. И тут он вспоминает о центробежной силе. Действует она, судя по названию, от центра, а значит, годится на роль подъемной силы. А откуда она берется? А возникает при круговом движении. Почему? Ну вот так устроено круговое движение. Человек нашел ответ на свой вопрос. При этом ему и в голову не приходит задуматься, какое же взаимодействие является причиной этой самой центробежной силы. А тем более, что если бы на спутник действительно действовала некая сила, уравновешивающая силу притяжения, то спутник улетел бы от Земли по прямой. Самолет же не улетает.

[Someone]

Anna from Svetl в сообщении #1252145 писал(а):

У меня получается, что в каждый момент времени диск стремится сместиться относительно бруска по касательной к окружности, по которой двигаются точки диска в месте расположения бруска. Но тогда сила трения покоя должна была бы быть направлена по касательной к окружности, противоположно линейной скорости той точки диска, в которой лежит брусок (если считать брусок точечным). Откуда берется сила, направленная к центру кривизны? Или здесь нельзя рассматривать брусок как точечный?

Рассматриваем случай, когда брусок неподвижен относительно диска, то есть, не скользит. И для простоты будем считать брусок точечным. Поскольку диск вращается с постоянной угловой скоростью, а брусок не скользит, то брусок движется по окружности. Это означает, что на него действует центростремительная сила как раз такой величины, чтобы создавать центростремительное ускорение $\frac{v^2}R$, где $v$ — скорость бруска, $R$ — расстояние до оси вращения. Направленная, естественно, к центру. Если она будет направлена не к центру, то брусок под действием тангенциальной компоненты силы будет двигаться поперёк радиуса, а он не движется по условию. Если сила трения почему-то уменьшится и станет меньше указанной величины, то брусок начнёт скользить по диску в направлении радиуса от центра. Касательная получается потому, что в момент начала скольжения скорость бруска совпадает со скоростью той точки диска, где находится брусок.

[Sergey from Sydney]

Someone
Aвтору тему интересно, почему сила трения покоя направлена именно так: по радиусу к центру, т.е. какой здесь физический механизм возникновения именно такой силы. Ее смущает, что точка касания бруска и диска, вроде бы, должна выскальзывать из-под бруска по касательной к окружности вращения, т.е. сила трения покоя должна быть направлена по касательной, а не по радиусу. Я выше попытался показать, что на самом деле точка выскальзывает как раз по радиусу.

[Someone]

Sergey from Sydney в сообщении #1252640 писал(а):

какой здесь физический механизм возникновения именно такой силы

Я не понимаю вопроса. Диск вращается с постоянной угловой скоростью. На диске лежит брусок. Неподвижно относительно диска (якобы "приклеен"). Стало быть, брусок равномерно движется по окружности. Куда направлена сила, действующая на брусок, и чему она равна? Простая механическая задача. Природа силы при этом совершенно не существенна. Каким бы ни был "физический механизм", результат будет один и тот же.

[Sergey from Sydney]

Someone
Так автору темы интересен именно физический механизм. Понятно, что сила трения покоя направлена к центру вращения, раз брусок неподвижен относительно диска. Но она хочет понять, как такое получается. Она сравнивает брусок на вращающемся диске и брусок на шероховатой повехности. И вот в чем ее затруднение:

Anna from Svetl в сообщении #1252145 писал(а):

У меня получается, что в каждый момент времени диск стремится сместиться относительно бруска по касательной к окружности, по которой двигаются точки диска в месте расположения бруска. Но тогда сила трения покоя должна была бы быть направлена по касательной к окружности, противоположно линейной скорости той точки диска, в которой лежит брусок... Откуда берется сила, направленная к центру кривизны?

[arseniiv]

Sergey from Sydney в сообщении #1252644 писал(а):

Но она хочет понять, как такое получается. Она сравнивает брусок на вращающемся диске и брусок на шероховатой повехности.

Думал, это замечание должно тогда сработать:

arseniiv в сообщении #1252224 писал(а):

Правда, мне в свою очередь непонятно, что такого в случае с вращающимся диском для ТС видится значительно отличным от случая с линейно ускоряющимся основанием — элементы диска под элементами бруска ускоряются, а то, что немного в разные стороны, не важно.

И я воспринял один из следующих постов как указание, что вопрос закрыт. Теперь не знаю.

[Someone]

Sergey from Sydney в сообщении #1252644 писал(а):

Так автору темы интересен именно физический механизм

который не имеет ни малейшего значения, потому что результат будет один и тот же. Раз уж (точечный) брусок неподвижен относительно вращающегося диска, то сила, действующая на брусок, направлена к центру и равна $\frac{mv^2}R$ ($m$ — масса бруска, $v$ — скорость, $R$ — расстояние до оси вращения).

[Xey]

В чем вопрос-то. Рассмотрим для линейного и вращательного движений промежуток ускоренного движения, как и описано в первом сообщении

Anna from Svetl в сообщении #1252145 писал(а):

которая и придает верхнему бруску относительно земли такое же ускорение, что внешняя сила придает нижнему бруску.

А здесь пропустим жирный текст

Anna from Svetl в сообщении #1252145 писал(а):

У меня получается, что в каждый момент времени диск стремится сместиться относительно бруска по касательной к окружности, по которой двигаются точки диска в месте расположения бруска. Но тогда сила трения покоя должна была бы быть направлена по касательной

И действительно, в моменты ускоренного линейного и начала углового движений картины одинаковы - направление силы трения покоя совпадает с направлением скорости.
В моменты установившегося движения сила трения покоя, совпадающая с направлением движения, в обоих случаях обнуляется (ну если нет какого-нибудь торможения).

[Anna from Svetl]

arseniiv
Да, я все поняла. Изначально меня почему-то переклинило, и я подумала, что сила трения покоя направлена против того направления в котором тела пытаются сместиться относительно друг друга (как трение скольжения), хотя я прекрасно знаю, что эта сила должна быть направлена против силы, стремящейся вызвать относительное смещение тел.

Someone
Расчет в данном случае, конечно простой, и механизм возникновения силы никакой роли не играет. Но вот если объяснять кому-то, что брусок удерживается на диске силой трения покоя, в конце-концов возникнет вопрос о ее происхождении.

[Sergey from Sydney]

Anna from Svetl в сообщении #1253675 писал(а):

эта сила должна быть направлена против силы, стремящейся вызвать относительное смещение тел.

Так нет никакой силы, которая стремится сместить брусок на вращающемся диске относительно диска.