О кардиналах p и t [результаты Malliaris, Shelah]

[Ontos]

Mathematicians Measure Infinities and Find They’re Equal
Просветите пожалуйста, эта статья - косвенный аргумент в пользу континуум гипотезы, или против неё?

[arseniiv]

Надо читать оригинальные статьи. А в этой даже упоминается о независимости CH от ZFC, так что я не понимаю, что автор имеет в виду. Во-первых, надо знать точные определения тех мощностей $\mathfrak p$ и $\mathfrak t$, а не как там. Во-вторых, надо знать, не использовалось ли что-то сильнее ZFC в статьях. Факт же независимости CH от ZFC никуда и никогда не денется. Аргументы за и против CH — внематематические, и обычно о том, какая теория множеств (без или с) кажется сторонникам более интересной. (Похожая ситуация с принятием разных аксиом больших кардиналов.)

[mihaild]

В обзоре указаны определения: $\mathfrak p$ - минимальная мощность $F \subset 2^\mathbb{N}$ такого что все попарные пересечения элементов из $F$ бесконечны, но не существует бесконечного множества $A$ такого что симметричская разность любого элемента из $F$ и $A$ конечна. $\mathfrak t$ - минимальная мощность такого $F$, если мы дополнительно потребуем вполне упорядоченность по включению с точностью до конечного семейства (тут я не понял, как именно определяется порядок - если симметрическая разность двух множеств конечна, то какое из них больще?). Очевидно, что $\mathfrak p \leqslant \mathfrak f \leqslant 2^{\aleph_0}$.
Известно, что $\mathfrak p \geqslant \aleph_1$ и что если $\mathfrak p = \aleph_1$, то $\mathfrak p = \mathfrak q$, так что при условии гипотезы континуума $\mathfrak p = \mathfrak f$. Товарищи, насколько я понял, доказали что это верно и без гипотезы континуума.

Естественно, что аргументом "в пользу" или "против" континуум-гипотезы это не является, поскольку ее независимость от ZFC уже доказана.

[grizzly]

Оставлю здесь ссылку на эту статью в архиве.

-- 03.10.2017, 19:58 --

mihaild
Авторы в начале страницы 3 говорят об этом результате:

Цитата:

... it is a priori very surprising. Given the length of time this problem had remained open, the expectation was an independence result.

Вы не могли бы в двух словах объяснить, какую независимость они ожидали a priori?

[mihaild]

grizzly в сообщении #1252817 писал(а):

Вы не могли бы в двух словах объяснить, какую независимость они ожидали a priori?

Ну вы конечно нашли великого специалиста по теории множеств
Тут, насколько я понимаю, a priori ожидали, что $\mathfrak p < \mathfrak q$ совместно с ZFC (то, что $\mathfrak p = \mathfrak q$ с ней совместно, уже понятно) - т.е. вопрос об их равенстве не зависит от ZFC. Видимо потому что доказывать доказуемые утверждения сильно проще, чем доказывать независимость, поэтому если бы утверждение было доказуемым, его бы скорее всего уже кто-то доказал.

[Ontos]

Спасибо за реакцию всем,

(Оффтоп)

мне этот форум внове и я лишь кликнув по ссылке на свои сообщения, увидел, что из комментария создана тема, лучше бы по такому случаю в личку приходило уведомление.

[Karan]

(Оффтоп)

Ontos в сообщении #1252835 писал(а):

мне этот форум внове и я лишь кликнув по ссылке на свои сообщения, увидел, что из комментария создана тема, лучше бы по такому случаю в личку приходило уведомление.

Извините, забыл оставить уведомление в старой теме.

[Someone]

Я уточню определения, чтобы не было недоразумений. Определения взяты в основном из статьи, ссылку на которую дал grizzly (Определение 1.1). Слово "множество" будет обозначать подмножество натурального ряда. Слово "семейство" будет обозначать совокупность бесконечных подмножеств натурального ряда.

Множества $A$ и $B$ называются почти дизъюнктными (almost disjoint), если их пересечение $A\cap B$ конечно.
Множество $A$ почти содержится () в множестве $B$ (пишем $A\subseteq^*B$ или $B\supseteq^*A$), если разность $A\setminus B$ конечна.
Множество $A$ называется псевдопересечением (pseudo-intersection) семейства $\mathcal D$, если $A\subseteq^*B$ для всякого множества $B\in\mathcal D$.
Определим отношение порядка (reverse almost inclusion): $A<^*B$, если $A\supseteq^*B\wedge\neg A\subseteq^*B$.
Семейство $\mathcal D$ называется центрированным (finite intersection property), если пересечение любого конечного подсемейства семейства $\mathcal D$ не пусто.
Семейство $\mathcal D$ называется сильно центрированным (strong finite intersection property), если пересечение любого конечного подсемейства семейства $\mathcal D$ бесконечно.
Семейство $\mathcal D$ называется цепью (chain), если оно вполне упорядочено отношением $<^*$.
Цепь $\mathcal D$ называется башней (tower), если она не имеет бесконечного псевдопересечения

Кардинал $\mathfrak p$ — это наименьший кардинал $\tau$, для которого существует сильно центрированное семейство мощности $\tau$, не имеющее бесконечного псевдопересечения.
Кардинал $\mathfrak t$ — это наименьший кардинал $\tau$, для которого существует башня мощности $\tau$.

В статье доказывается, что $\mathfrak p=\mathfrak t$.

Ontos в сообщении #1252792 писал(а):

Просветите пожалуйста, эта статья - косвенный аргумент в пользу континуум гипотезы, или против неё?

Видите ли, после результатов Коэна стало ясно, что континуум-гипотеза не зависит от аксиом теории множеств, и есть три варианта: принять её в качестве дополнительной аксиомы, принять в качестве дополнительной аксиомы её отрицание или наплевать на неё. Сошлись на том, что ну её нафиг. Нет никаких оснований ни считать её обязательно истинной, ни считать её обязательно ложной. Если кому-то для доказательства теоремы понадобилось считать континуум-гипотезу истинной или, наоборот, ложной, он просто предупреждает об этом своих читателей или слушателей и пользуется в своё удовольствие.

Если считать континуум-гипотезу истинной, то равенство $\mathfrak p=\mathfrak t=\mathfrak c$ является достаточно тривиальным. Поэтому вся проблема имеет смысл только в том случае, когда континуум гипотеза ложна.

Вся эта проблематика тесно связана с изучением нароста стоун-чеховского расширения натурального ряда, что относится уже к общей топологии.

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1252922 писал(а):

Определим отношение порядка (reverse almost inclusion): $A<^*B$, если $A\supseteq^*B\wedge\neg A\subseteq^*B$.

А тут нет опечатки какой-нибудь?

[Someone]

Нет. $A$ почти содержит $B$, но не наоборот. А что знак неравенства в противоположную сторону — так это потому, что отношение почти включения "обратное" (reverse).

Постараюсь вечером написать, как это выглядит с точки зрения топологии, там, как мне кажется, мотивировка более понятная.

[Ontos]

Someone в сообщении #1252922 писал(а):

Видите ли, после результатов Коэна стало ясно, что континуум-гипотеза не зависит от аксиом теории множеств, и есть три варианта: принять её в качестве дополнительной аксиомы, принять в качестве дополнительной аксиомы её отрицание или наплевать на неё. Сошлись на том, что ну её нафиг.

А что за результаты Коэна? Не знаток теории множеств.

[Someone]

Ontos в сообщении #1254392 писал(а):

А что за результаты Коэна? Не знаток теории множеств.

А чего Вас тогда континуум-гипотеза волнует? Где-то про её историю прочитали? Ну да, вопрос о промежуточных мощностях весьма естественный и возникает на начальных этапах развития теории множеств, а решить его оказалось очень трудно. А вообще, в теории множеств таких независимых от аксиоматики проблем — воз и маленькая тележка. Аксиомы ZFC формализуют основные методы, используемые математиками, а что сверх этого — вводить в аксиоматику нет надобности.

П. Дж. Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. "Мир", Москва, 1969.

[Someone]

Исполняю обещание, данное неделю назад. Писанина заняла гораздо больше времени, чем ожидал (впрочем, это всегда так бывает, когда что-нибудь обещаю написать).

1. Предполагаем, что натуральный ряд $\mathbb N$ снабжён дискретной топологией, то есть, каждое его подмножество является открыто-замкнутым.

Про фильтры и ультрафильтры все квалифицированные участники знают, но напишу минимальные сведения для тех, кто не знает. Также я буду иметь в виду натуральный ряд, хотя многое в том или ином виде верно и для любого бесконечного множества. Часть необходимых определений сформулирована выше.

2. Семейство $\mathcal F$ подмножеств натурального ряда называется ультрафильтром, если выполняются следующие условия:
1) $\varnothing\notin\mathcal F$;
2) если $A\in\mathcal F$ и $B\in\mathcal F$, то $A\cap B\in\mathcal F$;
3) если $A\in\mathcal F$ и $B\supseteq A$, то $B\in\mathcal F$;
4) для любого $A\subseteq\mathbb N$ либо $A\in\mathcal F$, либо $\mathbb N\setminus A\in\mathcal F$.

Разумеется, это определение не является специфическим именно для множества натуральных чисел, точно так же ультрафильтры определяются для любого множества. Пункт 3) в этом определении является лишним, так как следует из 1), 2) и 4), и приведён здесь только потому, что условия 1), 2) и 3) дают определение фильтра.

3. Ультрафильтр $\mathcal F$ называется тривиальным, если $\bigcap\mathcal F\neq\varnothing$, и свободным, если $\bigcap\mathcal F=\varnothing$ (имеется в виду пересечение всех множеств, принадлежащих $\mathcal F$).

4. Имеют место следующие утверждения.
1) Фильтр и, в частности, ультрафильтр является центрированным семейством множеств.
2) Ультрафильтр — это максимальный фильтр, то есть, если $\mathcal F$ — ультрафильтр, а $\mathcal F'$ — такой фильтр, что $\mathcal F\subseteq\mathcal F'$, то $\mathcal F'=\mathcal F$.
3) Для каждого фильтра существует содержащий его ультрафильтр.
4) Если ультрафильтр $\mathcal F$ тривиален, то существует такой элемент $x_0\in\mathbb N$, что $\bigcap\mathcal F=\{x_0\}$; при этом $\mathcal F=\{M\subseteq\mathbb N:x_0\in M\}$.
5) Если фильтр $\mathcal F$ содержит конечное множество, то все содержащие его ультрафильтры тривиальны, причём, их число не превосходит мощности этого множества.
6) Свободный ультрафильтр является сильно центрированным семейством.
7) Если $\mathcal F$ — свободный ультрафильтр, $A\in\mathcal F$, $B\subseteq\mathbb N$, и симметрическая разность $A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ конечна, то $B\in\mathcal F$.

5. Множество всех ультрафильтров в множестве подмножеств натурального ряда $\mathbb N$ обозначается $\beta\mathbb N$.
Для элемента $x\in\mathbb N$ обозначим $x^*=\{M\subseteq\mathbb N:x\in M\}$. Это — некоторый тривиальный ультрафильтр.
Это позволяет определить инъективное отображение $i\colon\mathbb N\to\beta\mathbb N$ по формуле $ix=x^*$.

6. Топология на множестве $\beta\mathbb N$ определяется следующим образом.
Для произвольного множества $A\subseteq\mathbb N$ определим множество $\mathscr O(A)=\{\mathcal F\in\beta\mathbb N: A\in\mathcal F\}$.
В качестве базы топологии на множестве $\beta\mathbb N$ берётся семейство $\mathscr B=\{\mathscr O(A):A\subseteq\mathbb N\}$.

Множество $\beta\mathbb N$, снабжённое такой топологией, является хаусдорфовым бикомпактным пространством, а отображение $i$ — вложением натурального ряда на всюду плотное подмножество пространства $\beta\mathbb N$ (то есть, гомеоморфизмом на подпространство $i\mathbb N\subset\beta\mathbb N$). Это означает, что пара $(\beta\mathbb N,i)$ — хаусдорфово бикомпактное расширение натурального ряда. Заметим также, что на неформальном уровне обычно $\mathbb N$ и $i\mathbb N$ отождествляются, а отображение $i$ вообще не упоминается (это относится не только к данному случаю, но и вообще к расширениям топологических пространств).
Это расширение называется расширением Стоуна—Чеха и является максимальным в следующем смысле: если $(v\mathbb N,j)$ — любое хаусдорфово бикомпактное расширение натурального ряда, то существует, и притом единственное, непрерывное отображение $\varphi\colon\beta\mathbb N\to v\mathbb N$, удовлетворяющее условию $jx=\varphi ix$ для всех $x\in\mathbb N$. Последнее условие можно изобразить коммутативной диаграммой.

$$\xymatrix{&&{\beta\mathbb N}\ar[dd]^{\varphi}\\ {\mathbb N}\ar[urr]^i\ar[drr]_j\\ &&{v\mathbb N}}$$

7. Свойства "операции" $\mathscr O$:
1) $\mathscr O(\varnothing)=\varnothing$, $\mathscr O(\mathbb N)=\beta\mathbb N$;
2) $\mathscr O(A\cap B)=\mathscr O(A)\cap\mathscr O(B)$;
3) $\mathscr O(A\cup B)=\mathscr O(A)\cup\mathscr O(B)$;
4) $A\subseteq B\Leftrightarrow\mathscr O(A)\subseteq\mathscr O(B)$;
5) $\mathscr O(A)=iA$ тогда и только тогда, когда $A$ конечно;
6) множество $\mathscr O(A)$ открыто-замкнуто в $\beta\mathbb N$ для любого $A\subseteq\mathbb N$.

8. Для произвольного подмножества $A\subseteq\mathbb N$ положим $A^*=\mathscr O(A)\setminus iA=\mathscr O(A)\setminus i\mathbb N$, то есть, $A^*$ — множество свободных ультрафильтров, содержащих множество $A$.
Можно также представить это множество как $A^*=\mathscr O(A)\cap\mathbb N^*$.

9. Из свойства 7.6) следует, что для каждого элемента $x\in\mathbb N$ множество $i\{x\}=\mathscr O(\{x\})$ открыто в $\beta\mathbb N$. Поэтому для любого $A\subseteq N$ множество $iA=\{ix:x\in A\}=\bigcup\{O(\{x\}):x\in A\}$ открыто, а множество $A^*=\mathscr O(A)\setminus iA$ замкнуто в $\beta\mathbb N$, так как по свойству 7.6) множество $\mathscr O(A)$ не только открыто, но и замкнуто в $\beta\mathbb N$.
В частности, $i\mathbb N$ открыто, а $\mathbb N^*$ замкнуто в $\beta\mathbb N$. Топологическое пространство $\mathbb N^*$ называется стоун-чеховским наростом натурального ряда. (В случае произвольного расширения $(vX,i)$ топологического пространства $X$ наростом называется $X^*=vX\setminus iX$.)
Так как множества $\mathscr O(A)$, $A\subseteq\mathbb N$, открыто-замкнуты в $\beta\mathbb N$ и образуют в нём базу, то множества $A^*=\mathscr O(A)\cap\mathbb N^*$ также открыто-замкнуты в $\mathbb N^*$ и образуют в нём базу.

10. Свойства операции $^*$:
1) множество $A^*=\mathscr O(A)\setminus iA=\mathscr O(A)\setminus i\mathbb N=\mathscr O(A)\cap\mathbb N^*$ открыто-замкнуто в $\mathbb N^*$;
2) $A^*=[iA]_{\beta\mathbb N}\setminus iA$ (квадратные скобки обозначают замыкание в топологическом пространстве, указанном в индексе);
3) $A^*=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $A$ конечно;
4) $A^*=B^*$ тогда и только тогда, когда симметрическая разность $A\Delta B$ конечна;
5) $A^*\cap B^*=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ почти дизъюнктны;
6) $A^*\subseteq B^*$ тогда и только тогда, когда $A\subseteq^*B$;
7) $A^*\subset B^*$ тогда и только тогда, когда $B<^*A$;
8) если $W\subseteq\mathbb N^*$ — любое открыто-замкнутое множество, то существует такое множество $A\subseteq\mathbb N$, что $A^*=W$.

11. 1) Семейство $\mathcal D$ подмножеств натурального ряда является сильно центрированным тогда и только тогда, когда семейство $\mathcal D^*=\{A^*:A\in\mathcal D\}$ является центрированным.
2) Семейство $\mathcal D$ бесконечных подмножеств натурального ряда является цепью тогда и только тогда, когда семейство $\mathcal D^*$ вполне упорядочено отношением $\supset$.

12. 1) Если $\mathcal D$ — счётное сильно центрированное семейство подмножеств натурального ряда, то это семейство имеет бесконечное псевдопересечение, то есть, существует такое бесконечное подмножество $A\subseteq\mathbb N$, что $A\subseteq^*B$ для всех $B\in\mathcal D$, поэтому семейство $\mathcal D'=\mathcal D\cup\{A\}$ также является сильно центрированным.
2) Более того, можно считать, что $B<^*A$ для всех $B\in\mathcal D$, и если $\mathcal D$ — цепь, то $\mathcal D'$ — тоже цепь, причём, построенное множество $A$ является её наибольшим (в смысле $<^*$) элементом.

13. В терминах пространства $\mathbb N^*$ утверждения пункта 12 выглядят так:
1) если $\mathcal D^*$ — счётное центрированное семейство открыто-замкнутых подмножеств пространства $\mathbb N^*$, то $\bigcap\mathcal D^*$ содержит непустое открыто-замкнутое подмножество;
2) если $\mathcal D^*$ — счётное центрированное семейство открыто-замкнутых подмножеств пространства $\mathbb N^*$, вполне упорядоченное отношением обратного включения $\supset$, то $\bigcap\mathcal D^*$ содержит непустое открыто-замкнутое подмножество.

14. Кардиналы $\mathfrak p$ и $\mathfrak t$ в терминах пространства $\mathbb N^*$ могут быть определены так:
1) $\mathfrak p$ — наименьшая мощность центрированного семейства открыто-замкнутых подмножеств пространства $\mathbb N^*$ с нигде не плотным пересечением;
2) $\mathfrak t$ — наименьшая мощность семейства открыто-замкнутых подмножеств пространства $\mathbb N^*$, вполне упорядоченного отношением обратного включения $\supset$, с нигде не плотным пересечением.