Обруч на столбе

[pogulyat_vyshel]

Вокруг вертикального цилиндрического столба радиуса $r$ без проскальзывания вращается тонкий однородный массивный обруч радиуса $R>r$. (Обруч надет на столб) Вращение происходит таким образом, что центр обруча движется с постоянной угловой частотой по горизонтальной окружности, а угол наклона плоскости обруча к земле постоянен и равен $\varphi$.
При каком минимальном коэффициенте трения обуча о столб возможно указанное движение?

[fred1996]

Очевидно $\mu=\tg\varphi$
Наверное интереснее было бы найти минимальную угловую скорость $\omega$ при заданном $\mu$

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1252399 писал(а):

Очевидно $\mu=\tg\varphi$

конечно нет

[12d3]

У меня вышло $\displaystyle \mu = \tg \varphi \frac{3 R \cos \varphi - 4r}{2R \cos \varphi - 2r}$

[fred1996]

Ах да, слона то я и не заметил. Обруч же вращается не только вокруг столба, но и вокруг своей оси. То есть во вращающейся системе учесть Кориолисову силу.
Но тогда у 12d3
Ответ тоже неверный. В пределе при $r=0$ обруч перестает вращаться вокруг своей оси и тогда $\mu=\tg\varphi$

[pogulyat_vyshel]

12d3 в сообщении #1252514 писал(а):

У меня вышло $\displaystyle \mu = \tg \varphi \frac{3 R \cos \varphi - 4r}{2R \cos \varphi - 2r}$

да, это верный ответ. Надо еще добавить, что условие на параметры задачи $3 R \cos \varphi - 4r>0$ является необходимым для реализуемости указанного вращения.

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Это вы сами придумали, или где подсмотрели задачку?
Задачка классная.
И как раз в той области, где у меня проблемы со сложными вращениями.
Пока сам помучаюсь. Но потом с удовольствием посмотрю каноническое решение.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

$S$ -- центр масс обруча
Введем подвижную декартову систему координат $Sxyz$. Ось $Sx$ все время остается горизонтальной и лежит в плоскости обруча; ось $Sy$ проходит через точку $A$ обруча, которой он касается в данный момент столба, $\boldsymbol{SA}=R\boldsymbol e_y$. Соответственно ось $Sz$ перпендикулярна плоскости обруча.

Через $\boldsymbol e=\cos\varphi\boldsymbol e_z+\sin\varphi\boldsymbol e_y$ обозначим единичный вектор, направленный вертикально вверх, $\boldsymbol g=-g\boldsymbol e.$ Через $\boldsymbol T$ обозначим силу реакции столба.
Напишем уравнения движения обруча

$$J_S\boldsymbol \varepsilon+[\boldsymbol\omega,J_S\boldsymbol\omega]=[\boldsymbol{SA},\boldsymbol T],\quad m\boldsymbol a_S=m\boldsymbol g+\boldsymbol T.$$

Здесь $m$ -- масса обруча; $J_S=mR^2\mathrm{diag}\,(1/2,1/2,1)$ -- оператор инерции обруча относительно точки $S$; $\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol\omega$ -- угловые ускорение и скорость обруча соответственно.
Выражая реакцию из второго уравнения, получаем

$$J_S\boldsymbol\varepsilon+[\boldsymbol\omega,J_S\boldsymbol\omega] =m[\boldsymbol{SA}, \boldsymbol{a}_S-\boldsymbol g].\qquad (*)$$

По формуле сложения скоростей $\boldsymbol\omega=\boldsymbol\omega_e+\boldsymbol\omega_r,$ где
$\boldsymbol\omega_e=\Omega\boldsymbol e$ -- угловая скорость системы $Sxyz$; $\boldsymbol\omega_r=\nu \boldsymbol e_z$ -- угловая скорость обруча в системе $Sxyz$.

Мы будем искать движение при котором $\Omega,\nu$ -- константы, поэтому
$\boldsymbol\varepsilon=[\boldsymbol\omega_e,\boldsymbol\omega_r]=\Omega\nu\sin\varphi \boldsymbol e_x.$

Пусть $\boldsymbol{PS}=(R\cos\varphi-r)(-\cos\varphi\boldsymbol e_y+\sin\varphi\boldsymbol e_z)$ -- горизонтальный вектор с началом на оси столба и концом в центре масс обруча, $R\cos\varphi-r>0$. Тогда скорость центра обуча вычисляется по формуле $\boldsymbol v_S=[\boldsymbol\omega_e,\boldsymbol{PS}], $ а ускорение по формуле

$$\boldsymbol a_S=[\boldsymbol\omega_e,\frac{d}{dt}{\boldsymbol{PS}}]=[\boldsymbol\omega_e,[\boldsymbol\omega_e,\boldsymbol{PS}]].$$

Подставляя все эти формулы в (*), находим

$$2R\Omega\nu\sin\varphi+\Omega^2\sin\varphi(3R\cos\varphi-2r)-2g\cos\varphi=0.\qquad(**)$$

Условие непроскальзывания $\boldsymbol v_S=[\boldsymbol\omega, \boldsymbol{AS}]=[\boldsymbol\omega_e,\boldsymbol{PS}]$ дает
$ \nu=-r\Omega/R.$
Подставляя эту формулу в (**), находим

$$\Omega^2=\frac{2g\cos\varphi}{\sin\varphi(3R\cos\varphi-4r)}.$$

Таким образом, $3R\cos\varphi-4r>0$. В частности, указанное движение возможно только если $R>4r/3.$

Проекция силы $\boldsymbol T$ на внешнюю нормаль к столбу равна

$$T_n=m\Omega^2(R\cos\varphi-r).$$

Проекция силы $\boldsymbol T$ на касательную плоскость к столбу равна $T_\tau=mg$. Остается написать неравенство $T_\tau<\mu T_n$.

[Geen]

pogulyat_vyshel в сообщении #1252702 писал(а):

Ось $Sx$ все время остается горизонтальной и лежит в плоскости обруча; ось $Sy$ проходит через точку $A$ обруча, которой он касается в данный момент столба,

А почему они перпендикулярны?

[pogulyat_vyshel]

потому, что так расположен обруч относительно цилиндра

[Geen]

pogulyat_vyshel в сообщении #1252743 писал(а):

потому, что так расположен обруч относительно цилиндра

У меня не получается сообразить откуда это выводится...

[pogulyat_vyshel]

ни откуда не выводится, мы просто рассматриваем такое движение обруча

[fred1996]

Geen в сообщении #1252746 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1252743 писал(а):

потому, что так расположен обруч относительно цилиндра

У меня не получается сообразить откуда это выводится...

Это скорее всего выводится из симметрии.
Другое дело, насколько это устойчивое вращение?
Что будет, если слегка отклонить ось вращения обруча?
Станет ли он и дальше скатываться по столбу, или может возникнут малые колебания (нутации)? I have no idea.
Вернее идея есть. То есть если прикинуть, что обруч касается столба в каждый момент только в одной точке, то видимо колебаний не будет, а обруч по спирали начнет с ускорением скатываться по столбу. Но в реальности обруч имеет конечный радиус. Тогда очевидно, что если взять обруч, нацепить на бревно и просто потянуть обруч от бревна, его плоскость в результате сориентируется перпендикулярно бревну. В нашем случае это может привести к скатыванию с колебаниями, просто колебаниям, или скатыванию с затухающими колебаниями. В общем задача явно выходит за рамки моих сегодняшних познаний из области движения твердых тел. Так что воспринимайте мои слова как просто приглашение к подумать.

[pogulyat_vyshel]

Вот вам в качестве утешительного приза




Целых три звезды, как на коньяке. Поскольку сфера это штука симметричная, писать закон изменения момента импульса можно как угодно, даже неправильно, все равно с ответом сойдется