2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обруч на столбе
Сообщение01.10.2017, 22:25 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Вокруг вертикального цилиндрического столба радиуса $r$ без проскальзывания вращается тонкий однородный массивный обруч радиуса $R>r$. (Обруч надет на столб) Вращение происходит таким образом, что центр обруча движется с постоянной угловой частотой по горизонтальной окружности, а угол наклона плоскости обруча к земле постоянен и равен $\varphi$.
При каком минимальном коэффициенте трения обуча о столб возможно указанное движение?

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение02.10.2017, 03:47 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Очевидно $\mu=\tg\varphi$
Наверное интереснее было бы найти минимальную угловую скорость $\omega$ при заданном $\mu$

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение02.10.2017, 09:48 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
fred1996 в сообщении #1252399 писал(а):
Очевидно $\mu=\tg\varphi$

конечно нет

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение02.10.2017, 17:53 
Заслуженный участник


04/03/09
906
У меня вышло $\displaystyle \mu = \tg \varphi \frac{3 R \cos \varphi - 4r}{2R \cos \varphi - 2r}$

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение02.10.2017, 18:45 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ах да, слона то я и не заметил. Обруч же вращается не только вокруг столба, но и вокруг своей оси. То есть во вращающейся системе учесть Кориолисову силу.
Но тогда у 12d3
Ответ тоже неверный. В пределе при $r=0$ обруч перестает вращаться вокруг своей оси и тогда $\mu=\tg\varphi$

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение02.10.2017, 19:09 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
12d3 в сообщении #1252514 писал(а):
У меня вышло $\displaystyle \mu = \tg \varphi \frac{3 R \cos \varphi - 4r}{2R \cos \varphi - 2r}$

да, это верный ответ. Надо еще добавить, что условие на параметры задачи $3 R \cos \varphi - 4r>0$ является необходимым для реализуемости указанного вращения.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение02.10.2017, 21:39 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
pogulyat_vyshel
Это вы сами придумали, или где подсмотрели задачку?
Задачка классная.
И как раз в той области, где у меня проблемы со сложными вращениями.
Пока сам помучаюсь. Но потом с удовольствием посмотрю каноническое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение03.10.2017, 12:45 
Аватара пользователя


31/08/17
2116

(Оффтоп)

Изображение
$S$ -- центр масс обруча
Введем подвижную декартову систему координат $Sxyz$. Ось $Sx$ все время остается горизонтальной и лежит в плоскости обруча; ось $Sy$ проходит через точку $A$ обруча, которой он касается в данный момент столба, $\boldsymbol{SA}=R\boldsymbol e_y$. Соответственно ось $Sz$ перпендикулярна плоскости обруча.

Через $\boldsymbol e=\cos\varphi\boldsymbol e_z+\sin\varphi\boldsymbol e_y$ обозначим единичный вектор, направленный вертикально вверх, $\boldsymbol g=-g\boldsymbol e.$ Через $\boldsymbol T$ обозначим силу реакции столба.
Напишем уравнения движения обруча
$$J_S\boldsymbol \varepsilon+[\boldsymbol\omega,J_S\boldsymbol\omega]=[\boldsymbol{SA},\boldsymbol T],\quad m\boldsymbol a_S=m\boldsymbol g+\boldsymbol T.$$
Здесь $m$ -- масса обруча; $J_S=mR^2\mathrm{diag}\,(1/2,1/2,1)$ -- оператор инерции обруча относительно точки $S$; $\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol\omega$ -- угловые ускорение и скорость обруча соответственно.
Выражая реакцию из второго уравнения, получаем
$$J_S\boldsymbol\varepsilon+[\boldsymbol\omega,J_S\boldsymbol\omega]
=m[\boldsymbol{SA}, \boldsymbol{a}_S-\boldsymbol g].\qquad (*)$$
По формуле сложения скоростей $\boldsymbol\omega=\boldsymbol\omega_e+\boldsymbol\omega_r,$ где
$\boldsymbol\omega_e=\Omega\boldsymbol e$ -- угловая скорость системы $Sxyz$; $\boldsymbol\omega_r=\nu \boldsymbol e_z$ -- угловая скорость обруча в системе $Sxyz$.

Мы будем искать движение при котором $\Omega,\nu$ -- константы, поэтому
$\boldsymbol\varepsilon=[\boldsymbol\omega_e,\boldsymbol\omega_r]=\Omega\nu\sin\varphi \boldsymbol e_x.$

Пусть $\boldsymbol{PS}=(R\cos\varphi-r)(-\cos\varphi\boldsymbol e_y+\sin\varphi\boldsymbol e_z)$ -- горизонтальный вектор с началом на оси столба и концом в центре масс обруча, $R\cos\varphi-r>0$. Тогда скорость центра обуча вычисляется по формуле $\boldsymbol v_S=[\boldsymbol\omega_e,\boldsymbol{PS}], $ а ускорение по формуле $$\boldsymbol a_S=[\boldsymbol\omega_e,\frac{d}{dt}{\boldsymbol{PS}}]=[\boldsymbol\omega_e,[\boldsymbol\omega_e,\boldsymbol{PS}]].$$

Подставляя все эти формулы в (*), находим
$$2R\Omega\nu\sin\varphi+\Omega^2\sin\varphi(3R\cos\varphi-2r)-2g\cos\varphi=0.\qquad(**)$$
Условие непроскальзывания $\boldsymbol v_S=[\boldsymbol\omega, \boldsymbol{AS}]=[\boldsymbol\omega_e,\boldsymbol{PS}]$ дает
$ \nu=-r\Omega/R.$
Подставляя эту формулу в (**), находим
$$\Omega^2=\frac{2g\cos\varphi}{\sin\varphi(3R\cos\varphi-4r)}.$$
Таким образом, $3R\cos\varphi-4r>0$. В частности, указанное движение возможно только если $R>4r/3.$

Проекция силы $\boldsymbol T$ на внешнюю нормаль к столбу равна
$$T_n=m\Omega^2(R\cos\varphi-r).$$ Проекция силы $\boldsymbol T$ на касательную плоскость к столбу равна $T_\tau=mg$. Остается написать неравенство $T_\tau<\mu T_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение03.10.2017, 14:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
pogulyat_vyshel в сообщении #1252702 писал(а):
Ось $Sx$ все время остается горизонтальной и лежит в плоскости обруча; ось $Sy$ проходит через точку $A$ обруча, которой он касается в данный момент столба,

А почему они перпендикулярны?

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение03.10.2017, 14:55 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
потому, что так расположен обруч относительно цилиндра

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение03.10.2017, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
pogulyat_vyshel в сообщении #1252743 писал(а):
потому, что так расположен обруч относительно цилиндра

У меня не получается сообразить откуда это выводится...

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение03.10.2017, 15:59 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
ни откуда не выводится, мы просто рассматриваем такое движение обруча

 Профиль  
                  
 
 Re: обруч на столбе
Сообщение03.10.2017, 23:24 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Geen в сообщении #1252746 писал(а):
pogulyat_vyshel в сообщении #1252743 писал(а):
потому, что так расположен обруч относительно цилиндра

У меня не получается сообразить откуда это выводится...


Это скорее всего выводится из симметрии.
Другое дело, насколько это устойчивое вращение?
Что будет, если слегка отклонить ось вращения обруча?
Станет ли он и дальше скатываться по столбу, или может возникнут малые колебания (нутации)? I have no idea.
Вернее идея есть. То есть если прикинуть, что обруч касается столба в каждый момент только в одной точке, то видимо колебаний не будет, а обруч по спирали начнет с ускорением скатываться по столбу. Но в реальности обруч имеет конечный радиус. Тогда очевидно, что если взять обруч, нацепить на бревно и просто потянуть обруч от бревна, его плоскость в результате сориентируется перпендикулярно бревну. В нашем случае это может привести к скатыванию с колебаниями, просто колебаниям, или скатыванию с затухающими колебаниями. В общем задача явно выходит за рамки моих сегодняшних познаний из области движения твердых тел. Так что воспринимайте мои слова как просто приглашение к подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обруч на столбе
Сообщение06.10.2017, 10:40 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Вот вам в качестве утешительного приза

Изображение
Изображение

Целых три звезды, как на коньяке. Поскольку сфера это штука симметричная, писать закон изменения момента импульса можно как угодно, даже неправильно, все равно с ответом сойдется

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group