2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 11:43 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Дан многочлен, $f(x)=x^p-a$, где $p$ - простое число, $a\in\mathbb Q$ не является точной $p$-ой степенью. Можно ли утверждать, что этот многочлен неприводим в $\mathbb Q[x]$?
В случае $a\in\mathbb Z$, пробовал применить критерий Эйзенштейна к $f(x+b)$, где $b$ старался подобрать так, чтобы $b^p+a$ делилось на $p$, но не делилось на $p^2$. Как-то плохо получается. А в случае рационального $a$ вообще не знаю, что делать. Может он может быть разложимым?

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 13:23 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
(здесь была ерунда)

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 20:53 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
$f(x)=g(x)\cdot h(x)$ -многочлены со старшим коэффициентом 1. $\deg(g)=k$. Найдите $|g(0)|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 21:44 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Sonic86 в сообщении #1252722 писал(а):
А приводим ли он над нашим $\mathbb{Z}_p$?

Не вижу, почему бы и нет. $\mathbb Z_p$ - это $\mathbb Z/p\mathbb Z$?
Sonic86 в сообщении #1252722 писал(а):
Случай рационального $a$ легко сводится к случаю целого $a$.

Допустим. Пока пусть $a\in\mathbb Z$. Как свести, потом подумаю.
Null в сообщении #1252834 писал(а):
Найдите $|g(0)|$.

Какой-то делитель $a$.
Еще давайте подсказок, пожалуйста. Вообще намеков не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822

(Оффтоп)

На самом деле для двучленов $x^N+c$ есть критерий приводимости, причём над любым полем: все приводимые имеют вид $x^{mn}-a^n$ ($n>1$) или $x^{4n}+4a^4$.
Но данный случай тривиален, как написал Null.


-- Вт 2017-10-03 21:51:34 --

Padawan в сообщении #1252852 писал(а):
Еще давайте подсказок, пожалуйста.
$\bigl\lvert g(0)\bigr\rvert$ можно явно выразить через $a$ и $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 21:56 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Padawan в сообщении #1252852 писал(а):
$\mathbb Z_p$ - это $\mathbb Z/p\mathbb Z$
Да.

Padawan в сообщении #1252852 писал(а):
Не вижу, почему бы и нет.
Не, прошу прощенья, не работает мой способ :-(
Присоединяюсь к вопросу

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 22:17 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
RIP, Null
Часть корней многочлена $x^p-a$ - сидит в $g(x)$ ($k$ штук), часть корней в $h(x)$ ($p-k$ штук). А корни по модулю все равны $|a|^{1/p}$. Поэтому $|g(0)|=|a|^{k/p}$, а это не может быть рациональным (т.к. в разложении $a$ на простые множители какое-то простое число входит с показателем, не делящимся на $p$, значит и после возведения в степень $k<p$, показатель тоже не будет делится на $p$). Прикольно. Я тупой :-(

Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ozheredov, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group