2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 11:43 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Дан многочлен, $f(x)=x^p-a$, где $p$ - простое число, $a\in\mathbb Q$ не является точной $p$-ой степенью. Можно ли утверждать, что этот многочлен неприводим в $\mathbb Q[x]$?
В случае $a\in\mathbb Z$, пробовал применить критерий Эйзенштейна к $f(x+b)$, где $b$ старался подобрать так, чтобы $b^p+a$ делилось на $p$, но не делилось на $p^2$. Как-то плохо получается. А в случае рационального $a$ вообще не знаю, что делать. Может он может быть разложимым?

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 13:23 
Заслуженный участник


08/04/08
8504
(здесь была ерунда)

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 20:53 
Заслуженный участник


12/08/10
1052
$f(x)=g(x)\cdot h(x)$ -многочлены со старшим коэффициентом 1. $\deg(g)=k$. Найдите $|g(0)|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 21:44 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Sonic86 в сообщении #1252722 писал(а):
А приводим ли он над нашим $\mathbb{Z}_p$?

Не вижу, почему бы и нет. $\mathbb Z_p$ - это $\mathbb Z/p\mathbb Z$?
Sonic86 в сообщении #1252722 писал(а):
Случай рационального $a$ легко сводится к случаю целого $a$.

Допустим. Пока пусть $a\in\mathbb Z$. Как свести, потом подумаю.
Null в сообщении #1252834 писал(а):
Найдите $|g(0)|$.

Какой-то делитель $a$.
Еще давайте подсказок, пожалуйста. Вообще намеков не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3608

(Оффтоп)

На самом деле для двучленов $x^N+c$ есть критерий приводимости, причём над любым полем: все приводимые имеют вид $x^{mn}-a^n$ ($n>1$) или $x^{4n}+4a^4$.
Но данный случай тривиален, как написал Null.


-- Вт 2017-10-03 21:51:34 --

Padawan в сообщении #1252852 писал(а):
Еще давайте подсказок, пожалуйста.
$\bigl\lvert g(0)\bigr\rvert$ можно явно выразить через $a$ и $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 21:56 
Заслуженный участник


08/04/08
8504
Padawan в сообщении #1252852 писал(а):
$\mathbb Z_p$ - это $\mathbb Z/p\mathbb Z$
Да.

Padawan в сообщении #1252852 писал(а):
Не вижу, почему бы и нет.
Не, прошу прощенья, не работает мой способ :-(
Присоединяюсь к вопросу

 Профиль  
                  
 
 Re: неразложимый многочлен
Сообщение03.10.2017, 22:17 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
RIP, Null
Часть корней многочлена $x^p-a$ - сидит в $g(x)$ ($k$ штук), часть корней в $h(x)$ ($p-k$ штук). А корни по модулю все равны $|a|^{1/p}$. Поэтому $|g(0)|=|a|^{k/p}$, а это не может быть рациональным (т.к. в разложении $a$ на простые множители какое-то простое число входит с показателем, не делящимся на $p$, значит и после возведения в степень $k<p$, показатель тоже не будет делится на $p$). Прикольно. Я тупой :-(

Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group