Я сделал так (тетрадь у меня сейчас нет, восстанавливаю по памяти). Поскольку ТС интересовали только нечетные
![$a,b$ $a,b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4bbe16e32e2319d5835a2ce2360eb4b82.png)
(и даже простые, но здесь помочь не могу)
![$a+1=2x,\;b+1=2y$ $a+1=2x,\;b+1=2y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/b/b7b78e856ba601288fcaf0947864e90d82.png)
После некоторых преобразований получилось
![$xy\mid (x+y-1)^2$ $xy\mid (x+y-1)^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/6/64634a00c5e09851375649f6e721d17e82.png)
и сведя к квадратному уравнению относительно
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
![$x^2-(2+ky)x+(y-1)^2=0$ $x^2-(2+ky)x+(y-1)^2=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/d/a1d551ec59e16e563d6e253df2c99f7382.png)
Ищем только натуральные решения. При некотором зафиксираванном
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, если есть решение
![$x_1\ge y$ $x_1\ge y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/a/89a857bf1cb21db7282ed1633f13292682.png)
, то по формулам Виета
![$x_2<y$ $x_2<y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/d/07db1afc73fcbc444daadf07abb4d3a482.png)
, причем
![$x_2 \ni \mathbb{N}$ $x_2 \ni \mathbb{N}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/e/fae5cb2a80befbcb13ffb1783882794582.png)
, елси
![$y>1$ $y>1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/4/704ce1547012558801a85fd42010d78682.png)
![$x_1x_2=(y-1)^2, x_1\ge y\Rightarrow x_2<y$ $x_1x_2=(y-1)^2, x_1\ge y\Rightarrow x_2<y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/a/b9a527c79f1c021a6c3112c4ccb1fc4582.png)
Из другой формулы Виета следует, что
![$x_2$ $x_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d239357c7dfa2e8d1fd21ff6ed5c7b82.png)
положительное. Или, для любого зафиксированного
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
наименшее решение будет
![$y=1$ $y=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/e/0ae115a65fe296fc4641cc1190e57d4a82.png)
![$x_1=0$ $x_1=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/a/eda2a562d55167366125e1c21f91e90182.png)
игнорируем,
![$x_2=2+k$ $x_2=2+k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/6/f760b58f578532fe712f7c7548dd254182.png)
.
А дальше по лестнице вверх, из
![$x_1+x_2=2+ky$ $x_1+x_2=2+ky$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/e/87eaab18274f5919815bc147d8a9977f82.png)
получаем возрастающую последовательность при
![$k>1$ $k>1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/3/8733ac5ecc35ea70e3e236ade3c28a6082.png)
Или приняв
![$x_1<y<x_2$ $x_1<y<x_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/3/bf373260c9516cd6988284d0dab1ad5682.png)
, получается
![$x_{n-2}+x_n=2+kx_{n-1}$ $x_{n-2}+x_n=2+kx_{n-1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/b/59b6529dbba677bd4fb82cbacdadff1782.png)
Делаем обратную замену из
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
в
![$a,b$ $a,b$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/b/b4bbe16e32e2319d5835a2ce2360eb4b82.png)
Один из вариантов, могут быть и другие, напр., через уравнения Пелля, судя по решениям.
-- 30.09.2017, 17:22 --Из другой формулы Виета следует, что
![$x_2$ $x_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d239357c7dfa2e8d1fd21ff6ed5c7b82.png)
положительное.
Не из другой, а из обеих - в совкупности. Из первой следует, что оно целое, а из второй - что оно положительное и меньше
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)