Возможность делимости определённых выражений.

[yk2ru]

Ну значит тут конкретно обратное условие должно быть: $x = zy$, откуда $(z+1)|y$ .

[provincialka]

Почему это? Вы высказываете какие-то произвольные утверждения, не доказывая их.
Вот пример: $x=15, y=10$. Ни одно не делится на другое.

-- 24.09.2017, 20:49 --

Как вы думаете, почему я быстро могу привести контрпример к вашим словам? Потому что я разобрала уравнение $(x+y)\,|\ x^2$ в общем случае и выписала все его решения.
Кстати, для это не нужно вводить $y$, удобнее работать с суммой $s=x+y$, учитывая доп. ограничения. Например, что $x>y$, что сводится к $s<2x$

[yk2ru]

Всё не так. $x=uw$ и $y=vw$, $w$ - наибольший общий делитель чисел $x, y$ и нужно также $(u+v)|w$ .

[provincialka]

yk2ru, вот смотрите. Обозначим $(a+1)(b+1) = p, ab+1=q$. Вы требуете, чтобы $p$ делило $q^2$. Если обозначить $\text{НОД}(p,q)=d, p=kd, q=ld$, получим, что $l^2d^2$ делится на $kd$, причем $k,l$ взаимнопросты. Сокращая на $d$ получаем, что на $k$ должно делиться $d, d= mk$. Итого $p=mk^2 , q= mlk$. Общий множитель $m$ можно взять за $1$.

Так что сама по себе делимость $q^2$ на $p$ вполне возможна, проблемы не в этом месте.

[yk2ru]

Sonic86 в сообщении #1250417 писал(а):

Короче у диофантова уравнения $(a+1)(b+1)|(ab+1)^2$ можно указать бесконечную параметрическую серию решений (даже две)

А где по алгоритмам решений такого можно прочесть, чтобы получать серии?

[Sonic86]

yk2ru в сообщении #1250458 писал(а):

А где по алгоритмам решений такого можно прочесть, что получать серии?

Вот синтаксически вопрос корректен, а смысл вообще не могу понять.
Можете переформулировать вопрос?

[yk2ru]

Где нибудь описан подход к решению подобных диофантовых уравнений, который вы использовали для получения параметрических решений.

[Sonic86]

yk2ru в сообщении #1250475 писал(а):

Где нибудь описан подход к решению подобных диофантовых уравнений, который вы использовали для получения параметрических решений.

Не знаю. но самое сложное, что я использовал, это обычная лемма:
$(\forall a,b,c)$ Если $ab=c^2$ и $\gcd(a,b)=1$, то $a=u^2, b=v^2$
Эту лемму я в какой-то научпоп книжке вычитал, которой в интернете даже нет

Вообще начните с того, что решите уравнение $(a+1)(b+1)|(ab+1)^2$ для конкретных $b=1;2;3;4;5;...$, пока не надоест. Надо уметь решать уравнения вида $\frac{A}{x}=B$ и $\frac{P(x)}{Q(x)}=A \in \mathbb{Z}, $ где $P,Q$ - многочлены над $\mathbb{Z}$. Все станет понятно. Ну я еще компутером пользовался, чтобы уменьшить затраты времени.

[yk2ru]

Sonic86, пару нечётных чисел больших единицы возможно ли привести тут?

[Cash]

$a=5, \, b=7$

[yk2ru]

Cash в сообщении #1250633 писал(а):

$a=5, \, b=7$

А так, чтобы следующие числа за $a, b$ максимум делились на четыре, как в начальном условии. Тут $8|(b+1)$

[Cash]

$a=9, \, b=31$

[yk2ru]

Cash в сообщении #1250649 писал(а):

$a=9, \, b=31$

31 не подходит, так как 32 делится на 32, два в пятой степени, а числа $(a+1,b+1)$ должны делиться максимум на два в степени два. А не имеют ли все решения вид два в степени плюс/минус один?

[Cash]

$a=11, \, b=49$

[yk2ru]

Cash, считаете через программу? Для трёх переменных (следующая делимость) может она посчитать, или строго для двух она?