Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн

[Aiyyaa]

Помогите пожалуйста решить задачу по теории вероятностей. Заданы две независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ с плотностями $p_{\xi}(x)=p_{\xi}(x,C_1)=C_1e^{-x^2}$ и $p_{\eta}(x)=p_{\eta}(x,C_2)=\frac{C_2}{4+x^2}$ и нужно найти константы $C_1$ и $C_2$, функции распределения случайных величин $F_\xi$, $F_\eta$ и $F_\zeta$, где $\zeta=\zeta(\xi,\eta)=4-2\eta$, матожидания и дисперсии этих случайных величин.
Интеграл от функции плотности равен 1, то есть чтобы найти константу $C_1$ нужно из выражения

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}C_1e^{-x^2}dx=1$$

найти $C_1$? Так находятся константы?
Тогда $C_1=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ и $C_2=\frac{2}{\pi}$ функции плотностей равны:
$p_\xi=\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$ и $p_\eta=\frac{2}{\pi(4+x^2)}$ Правильно константы найдены?
И дальше нужно найти функции распределения.
Функция распределения $\xi$ например равна:
$F_\xi=\int\limits_{-\infty}^{x}\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$
Но так как промежуток в функции распределения не задан, но нужно брать верхний предел как $+\infty$? Но тогда этот интеграл просто будет равен 1. То есть, как в случае, когда промежуток, на котором задана функция плотности, от $-\infty$ до $+\infty$ находить функцию распределения?

[GAA]

Aiyyaa в сообщении #1252294 писал(а):

Правильно константы найдены?

Да.

Aiyyaa в сообщении #1252294 писал(а):

Функция распределения $\xi$ например равна:
$F_\xi=\int\limits_{-\infty}^{x}\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$

Аргумент функции распределения и переменная интегрирования обозначены одной буквой. Так во время обучения лучше не делать. Я бы в данном случае написал как-то так

$$F_\xi(x)=\frac 1 {\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-t^2} dt.$$

В данном случае функция распределения в элементарных функциях не выражается. Поэтому в ответе будет интеграл с переменным верхним пределом.

-- Вс 01.10.2017 18:29:15 --

В случае $\eta$ функцию распределения уже можно будет записать в элементарных функциях.

-- Вс 01.10.2017 18:44:47 --

GAA в сообщении #1252299 писал(а):

Поэтому в ответе будет интеграл с переменным верхним пределом.

В сборниках задач (ТВиМС) иногда предполагается, что в подобных упражнениях (с экспонентой от квадрата переменной интегрирования) нужно выразить функцию распределения через функцию стандартного нормального распределения (т.е. нормального распределения с ожиданием 0 и дисперсией 1). Если это упражнение из методических указаний или книги, то возможно надо смотреть примеры выполнения/указания.

[Aiyyaa]

GAA в сообщении #1252299 писал(а):

В случае $\eta$ функцию распределения уже можно будет записать в элементарных функциях.

то есть функцию распределения для $\eta$

$$F_\eta(x)=\frac 2 { \pi}\int\limits_{-\infty}^{x} \frac{dt}{4+t^2} $$

можно как-то по-другому переписать?

[GAA]

Да, вычислить интеграл.

[Aiyyaa]

получается

$$F_\eta(x)=\frac 2 { \pi}\int\limits_{-\infty}^{x} \frac{dt}{4+t^2}=\frac{1}{2\pi} \arctg\frac{t}{2} $$

и при подстановке $-\infty$ выходит $-\frac{1}{4}$, то есть функция распределения $F_\eta$:
$\frac{1}{2\pi} \arctg\frac{x}{2}-\frac{1}{4}$?

[GAA]

Функция распределения должна удовлетворять ряду свойств. Проверьте, пожалуйста, выполнение свойств $F(-\infty)=0$, $F(+\infty)=1$

[Aiyyaa]

там ошибка в решении интеграла, $F_\eta=\frac{1}{\pi}\arctg \frac{t}{2}$ будет?
то есть нужно брать в качестве верхнего предела $x=-\infty$ и $x=\infty$?
при $x=-\infty$:
$F_\eta(-\infty)-F_\eta(-\infty)=-1/2-(-1/2)=0$
при $x=\infty$:
$F_\eta(\infty)-F_\eta(-\infty)=1/2-(-1/2)=1/2+1/2-1/2=1$

[GAA]

Aiyyaa в сообщении #1252340 писал(а):

там ошибка в решении интеграла, $F_\eta=\frac{1}{\pi}\arctg \frac{t}{2}$ будет?

Нет.
Первообразная найдено правильно: $\frac 2 {\pi} \int \frac {dt}{4+t^2} = \frac 1 {\pi} \arctg \frac t 2 + C$. (Для формулы Ньютона — Лейбница можно взять первообразную с $C=0$.)
Функция распределения — неправильно. Должно было быть

$$F_{\eta}(x) = \frac 2 {\pi} \int_{-\infty}^x \frac {dt}{4+t^2} = \frac 1 {\pi} \arctg \frac t 2 \big|_{-\infty}^x =\ldots$$

Вот двойную подстановку нужно выполнить правильно.

-- Вс 01.10.2017 20:47:46 --

Aiyyaa в сообщении #1252340 писал(а):

то есть нужно брать в качестве верхнего предела $x=-\infty$ и $x=\infty$?
при $x=-\infty$:
$F_\eta(-\infty)-F_\eta(-\infty)=-1/2-(-1/2)=0$
при $x=\infty$:
$F_\eta(\infty)-F_\eta(-\infty)=1/2-(-1/2)=1/2+1/2-1/2=1$

Это, конечно, глупости.

-- Вс 01.10.2017 21:23:32 --

GAA в сообщении #1252347 писал(а):

Первообразная найдено правильно: $\frac 2 {\pi} \int \frac {dt}{4+t^2} = \frac 1 {\pi} \arctg \frac t 2 + C$

Тут конечно говорится сначала о первообразной, затем пишется неопределённый интеграл (множество первообразных), и наконец, опять разговор возвращается к первообразной. Но использовать стандартное $F$ для обозначения первообразной не получилось — оно использовано для обозначения функции распределения. Поэтому допустил небрежность для скорости ответа.

[Aiyyaa]

то есть нужно сразу делать двойную подстановку?

$$F_{\eta}(x) = \frac 2 {\pi} \int_{-\infty}^x \frac {dt}{4+t^2} = \frac 1 {\pi} \arctg \frac t 2 \big|_{-\infty}^x = \frac 1 {\pi} \arctg \frac x 2 +\frac{1}{2}$$

Такая будет функция распределения?
и при $x=-\infty$:
$F_\eta(-\infty)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$
при $x=\infty\:
$F_\eta(\infty)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

[GAA]

Да, сразу. У меня такой же результат.

[Aiyyaa]

а чтобы найти функцию распределения случайной величины $\zeta=\zeta(\xi,\eta)=4-2\eta$ нужно на место $\eta$ подставить её функцию распределения, то есть:
$F_\zeta=4-2(\frac{1}{\pi}\arctg\frac{x}{2}+\frac{1}{2})=4-\frac{2}{\pi}\arctg\frac{x}{2}-1=3-\frac{2}{\pi}\arctg\frac{x}{2}$?

[GAA]

Ответ заведомо неправильный (достаточно проверить выполнение свойств $F(-\infty)=0$, $F(+\infty)=1$).

Откройте, пожалуйста, конспект лекций или рекомендованный учебник и посмотрите поиск функции распределения функции от случайной величины, в частности линейной.

[Aiyyaa]

функция распределения $F_\zeta$ это вероятность того, что случайная величина $\zeta \leqslant x$, то есть
$F_\zeta(x)=P(\zeta \leqslant x)=P(4-2\eta \leqslant x)=P(\eta \geqslant 2-\frac{x}{2})$
но нужно, чтобы случайная величина $\eta$ была меньше, поэтому нужно взять обратную вероятность и переписать в виде:
$F_\zeta(x)=1-P(\eta < 2-\frac{x}{2})$
но как решать дальше, мне не понятно, вот есть функция распределения $F_\eta=\frac{1}{\pi}\arctg\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$, и мне это выражение нужно подставить вместо $\eta$?

[GAA]

Aiyyaa в сообщении #1252396 писал(а):

но как решать дальше, мне не понятно

Aiyyaa в сообщении #1252396 писал(а):

нужно, чтобы случайная величина $\eta$ была меньше

"Меньше" нужно, чтобы свести к определению функции распределения, учитывая, что в данном случае случайная величина непрерывная

$$F_\zeta(x)=1-\mathsf P \{\eta < 2-x / 2 \} = 1 - F_\eta(2- x / 2).$$

-- Пн 02.10.2017 08:33:42 --

Меня немного смущает в условии «… и $F_\zeta$, где $\zeta=\zeta(\xi,\eta)=4-2\eta$», а именно «$\zeta=\zeta(\xi,\eta)$». Или ТС не всё написал, или допустил опечатку, или недостаток условия (как-то не совсем по теме остальных заданий). [Если бы было $\zeta=\zeta(\eta)$, то вопросов не возникало бы.]

[Aiyyaa]

да, тут будет $\zeta=\zeta(\eta)$
то есть вот функция распределения $\zeta$:

$$F_\zeta(x)=1 - F_\eta(2- x / 2).$$

и функция распределения $\eta$:

$$$F_{\eta}(x) =\frac 1 {\pi} \arctg \frac x 2 +\frac{1}{2}$$

то есть вместо $x$ нужно подставить в функцию распределения $F_eta$ $2-x/2$?
и тогда функция распределения $\zeta$ будет:
$F_\zeta(x)=1 - F_\eta(2- x / 2)=1-\frac 1 {\pi} \arctg \frac {2-x/2} 2 +\frac{1}{2}=1-\frac 1 {\pi} \arctg (1-x/4) +\frac{1}{2}$?