2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 19:06 


14/04/15
187
Помогите пожалуйста решить задачу по теории вероятностей. Заданы две независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ с плотностями $p_{\xi}(x)=p_{\xi}(x,C_1)=C_1e^{-x^2}$ и $p_{\eta}(x)=p_{\eta}(x,C_2)=\frac{C_2}{4+x^2}$ и нужно найти константы $C_1$ и $C_2$, функции распределения случайных величин $F_\xi$, $F_\eta$ и $F_\zeta$, где $\zeta=\zeta(\xi,\eta)=4-2\eta$, матожидания и дисперсии этих случайных величин.
Интеграл от функции плотности равен 1, то есть чтобы найти константу $C_1$ нужно из выражения
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}C_1e^{-x^2}dx=1$$ найти $C_1$? Так находятся константы?
Тогда $C_1=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ и $C_2=\frac{2}{\pi}$ функции плотностей равны:
$p_\xi=\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$ и $p_\eta=\frac{2}{\pi(4+x^2)}$ Правильно константы найдены?
И дальше нужно найти функции распределения.
Функция распределения $\xi$ например равна:
$F_\xi=\int\limits_{-\infty}^{x}\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$
Но так как промежуток в функции распределения не задан, но нужно брать верхний предел как $+\infty$? Но тогда этот интеграл просто будет равен 1. То есть, как в случае, когда промежуток, на котором задана функция плотности, от $-\infty$ до $+\infty$ находить функцию распределения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 19:23 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Aiyyaa в сообщении #1252294 писал(а):
Правильно константы найдены?
Да.
Aiyyaa в сообщении #1252294 писал(а):

Функция распределения $\xi$ например равна:
$F_\xi=\int\limits_{-\infty}^{x}\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}$
Аргумент функции распределения и переменная интегрирования обозначены одной буквой. Так во время обучения лучше не делать. Я бы в данном случае написал как-то так
$$F_\xi(x)=\frac 1 {\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}  e^{-t^2} dt.$$В данном случае функция распределения в элементарных функциях не выражается. Поэтому в ответе будет интеграл с переменным верхним пределом.

-- Вс 01.10.2017 18:29:15 --

В случае $\eta$ функцию распределения уже можно будет записать в элементарных функциях.

-- Вс 01.10.2017 18:44:47 --

GAA в сообщении #1252299 писал(а):
Поэтому в ответе будет интеграл с переменным верхним пределом.
В сборниках задач (ТВиМС) иногда предполагается, что в подобных упражнениях (с экспонентой от квадрата переменной интегрирования) нужно выразить функцию распределения через функцию стандартного нормального распределения (т.е. нормального распределения с ожиданием 0 и дисперсией 1). Если это упражнение из методических указаний или книги, то возможно надо смотреть примеры выполнения/указания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 19:56 


14/04/15
187
GAA в сообщении #1252299 писал(а):
В случае $\eta$ функцию распределения уже можно будет записать в элементарных функциях.

то есть функцию распределения для $\eta$
$$F_\eta(x)=\frac 2 { \pi}\int\limits_{-\infty}^{x}  \frac{dt}{4+t^2}  $$
можно как-то по-другому переписать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 19:59 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Да, вычислить интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 20:43 


14/04/15
187
получается

$$F_\eta(x)=\frac 2 { \pi}\int\limits_{-\infty}^{x}  \frac{dt}{4+t^2}=\frac{1}{2\pi} \arctg\frac{t}{2} $$
и при подстановке $-\infty$ выходит $-\frac{1}{4}$, то есть функция распределения $F_\eta$:
$\frac{1}{2\pi} \arctg\frac{x}{2}-\frac{1}{4}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 20:51 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Функция распределения должна удовлетворять ряду свойств. Проверьте, пожалуйста, выполнение свойств $F(-\infty)=0$, $F(+\infty)=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 21:30 


14/04/15
187
там ошибка в решении интеграла, $F_\eta=\frac{1}{\pi}\arctg \frac{t}{2}$ будет?
то есть нужно брать в качестве верхнего предела $x=-\infty$ и $x=\infty$?
при $x=-\infty$:
$F_\eta(-\infty)-F_\eta(-\infty)=-1/2-(-1/2)=0$
при $x=\infty$:
$F_\eta(\infty)-F_\eta(-\infty)=1/2-(-1/2)=1/2+1/2-1/2=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 21:46 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Aiyyaa в сообщении #1252340 писал(а):
там ошибка в решении интеграла, $F_\eta=\frac{1}{\pi}\arctg \frac{t}{2}$ будет?
Нет.
Первообразная найдено правильно: $\frac 2 {\pi} \int \frac {dt}{4+t^2} =  \frac 1 {\pi} \arctg \frac t 2 + C$. (Для формулы Ньютона — Лейбница можно взять первообразную с $C=0$.)
Функция распределения — неправильно. Должно было быть
$$F_{\eta}(x) = \frac 2 {\pi} \int_{-\infty}^x \frac {dt}{4+t^2} = \frac 1 {\pi} \arctg \frac t 2   \big|_{-\infty}^x =\ldots$$Вот двойную подстановку нужно выполнить правильно.

-- Вс 01.10.2017 20:47:46 --

Aiyyaa в сообщении #1252340 писал(а):
то есть нужно брать в качестве верхнего предела $x=-\infty$ и $x=\infty$?
при $x=-\infty$:
$F_\eta(-\infty)-F_\eta(-\infty)=-1/2-(-1/2)=0$
при $x=\infty$:
$F_\eta(\infty)-F_\eta(-\infty)=1/2-(-1/2)=1/2+1/2-1/2=1$
Это, конечно, глупости.

-- Вс 01.10.2017 21:23:32 --

GAA в сообщении #1252347 писал(а):
Первообразная найдено правильно: $\frac 2 {\pi} \int \frac {dt}{4+t^2} =  \frac 1 {\pi} \arctg \frac t 2 + C$
Тут конечно говорится сначала о первообразной, затем пишется неопределённый интеграл (множество первообразных), и наконец, опять разговор возвращается к первообразной. Но использовать стандартное $F$ для обозначения первообразной не получилось — оно использовано для обозначения функции распределения. Поэтому допустил небрежность для скорости ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 22:46 


14/04/15
187
то есть нужно сразу делать двойную подстановку?
$$F_{\eta}(x) = \frac 2 {\pi} \int_{-\infty}^x \frac {dt}{4+t^2} = \frac 1 {\pi} \arctg \frac t 2   \big|_{-\infty}^x = \frac 1 {\pi} \arctg \frac x 2 +\frac{1}{2}$$
Такая будет функция распределения?
и при $x=-\infty$:
$F_\eta(-\infty)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$
при $x=\infty\:
$F_\eta(\infty)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение01.10.2017, 23:51 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Да, сразу. У меня такой же результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение02.10.2017, 00:08 


14/04/15
187
а чтобы найти функцию распределения случайной величины $\zeta=\zeta(\xi,\eta)=4-2\eta$ нужно на место $\eta$ подставить её функцию распределения, то есть:
$F_\zeta=4-2(\frac{1}{\pi}\arctg\frac{x}{2}+\frac{1}{2})=4-\frac{2}{\pi}\arctg\frac{x}{2}-1=3-\frac{2}{\pi}\arctg\frac{x}{2}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение02.10.2017, 00:21 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Ответ заведомо неправильный (достаточно проверить выполнение свойств $F(-\infty)=0$, $F(+\infty)=1$).

Откройте, пожалуйста, конспект лекций или рекомендованный учебник и посмотрите поиск функции распределения функции от случайной величины, в частности линейной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение02.10.2017, 02:49 


14/04/15
187
функция распределения $F_\zeta$ это вероятность того, что случайная величина $\zeta \leqslant x$, то есть
$F_\zeta(x)=P(\zeta \leqslant x)=P(4-2\eta \leqslant x)=P(\eta \geqslant 2-\frac{x}{2})$
но нужно, чтобы случайная величина $\eta$ была меньше, поэтому нужно взять обратную вероятность и переписать в виде:
$F_\zeta(x)=1-P(\eta < 2-\frac{x}{2})$
но как решать дальше, мне не понятно, вот есть функция распределения $F_\eta=\frac{1}{\pi}\arctg\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$, и мне это выражение нужно подставить вместо $\eta$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение02.10.2017, 08:40 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Aiyyaa в сообщении #1252396 писал(а):
но как решать дальше, мне не понятно
Aiyyaa в сообщении #1252396 писал(а):
нужно, чтобы случайная величина $\eta$ была меньше
"Меньше" нужно, чтобы свести к определению функции распределения, учитывая, что в данном случае случайная величина непрерывная $$F_\zeta(x)=1-\mathsf P \{\eta < 2-x / 2 \} = 1 - F_\eta(2- x / 2).$$

-- Пн 02.10.2017 08:33:42 --

Меня немного смущает в условии «… и $F_\zeta$, где $\zeta=\zeta(\xi,\eta)=4-2\eta$», а именно «$\zeta=\zeta(\xi,\eta)$». Или ТС не всё написал, или допустил опечатку, или недостаток условия (как-то не совсем по теме остальных заданий). [Если бы было $\zeta=\zeta(\eta)$, то вопросов не возникало бы.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции распределения непрерывных случайных величин. Упражн
Сообщение02.10.2017, 12:17 


14/04/15
187
да, тут будет $\zeta=\zeta(\eta)$
то есть вот функция распределения $\zeta$:
$$F_\zeta(x)=1 - F_\eta(2- x / 2).$$
и функция распределения $\eta$:
$$$F_{\eta}(x) =\frac 1 {\pi} \arctg \frac x 2 +\frac{1}{2}$$
то есть вместо $x$ нужно подставить в функцию распределения $F_eta$ $2-x/2$?
и тогда функция распределения $\zeta$ будет:
$F_\zeta(x)=1 - F_\eta(2- x / 2)=1-\frac 1 {\pi} \arctg \frac {2-x/2} 2 +\frac{1}{2}=1-\frac 1 {\pi} \arctg (1-x/4) +\frac{1}{2}$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group