Коммутатор

[berant]

Помогите, пожалуйста, доказать, что если для любого $n$ существует $Xn,Yn$ :
$A^n=[Xn,Yn]$, то для некоторого $k$ $A^k=0$

[RIP]

Кто такой $A$? Матрица?

[berant]

Да, матрица

[RIP]

Над каким полем (кольцом,...)? Для алгебраически замкнутого поля характеристики нуль это делается так. Из существования $X_n,Y_n$ следует, что $\mathop{\mathrm{tr}}A^n=0$ для любого $n$. Вспомните, как выражается этот след через собственные числа матрицы $A$, воспользуйтесь формулами Ньютона и докажите, что все они (собств. числа) равны 0, т.е. матрица $A$ нильпотентна.

Добавлено спустя 20 минут 56 секунд:

Прошу прощения, не заметил, что вместо $\mathop{\mathrm{tr}}A^n$ было написано $A^n$ (всё время забываю, что в ТеХе нету функции \tr ). Поправился.

[berant]

Не могу доказать, что если сумма собственных чисел в степенях $n$ для каждого $n$ равна нулю, то все собственные числа равны нулю (над полем комплексных чисел). С формулами Ньютона на англ. языке я не разобрался, в учебниках что-т не нашел, мож расcкажите, что это за формулы или где о них почитать(на русском бы). Заранее благодарен.

[RIP]

Формулы Ньютона связывают коэффициенты многочлена $(z-x_1)(z-x_2)\ldots(z-x_n)=z^n-e_1z^{n-1}+e_2z^{n-2}-\ldots+(-1)^ne_n$ (теорема Виета) и суммы степеней корней этого многочлена $p_k=x_1^k+\ldots+x_n^k$. Сами формулы есть в самом первом пункте по той ссылке (не могу найти в сети ссылку на русском, да и лень искать), хотя если почитаете чуть дальше, то там по сути содержится решение Вашей задачи. Можно ещё глянуть книги из этого списка.

[berant]

Огромное спасибо!

[RIP]

В принципе, можно и без формул Ньютона обойтись, через определитель Вандермонда.