Закон распределения суммы и произведения случайных величин

[Aiyyaa]

Помогите пожалуйста разобраться с задачей по теории вероятностей.
Задан совместный закон распределения случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \xi_1 \backslash \xi_2 & -2 & 0 & 1\\ \hline -1 & 1/8 & 1/4 & 1/8\\ \hline 1& 1/16 & 1/16&3/8 \\ \hline \end{array}
корреляция между этими величинами равна $\frac{5}{\sqrt{79}}$, то есть эти величины не являются независимыми.
Мне нужно найти совместный закон распределения случайных величин $\eta_1=\xi_1+\xi_2$ и $\eta_2=\xi_1\cdot \xi_2$. То есть сначала мне нужно найти отдельно закон распределения $\eta_1$ и отдельно $\eta_2$? Но я не знаю, как их находить, подскажите пожалуйста как.

[GAA]

Aiyyaa в сообщении #1252055 писал(а):

То есть сначала мне нужно найти отдельно закон распределения $\eta_1$ и отдельно $\eta_2$?

Нет, в общем случае так делать нельзя.

Нужно посмотреть определение ряда распределения для многомерной дискретной случайной величины (или для случайного вектора). Грубо говоря, Вам нужно составить таблицу, аналогично заданной для $\xi_1$ и $\xi_2$, но для $\eta_1$ и $\eta_2$.
Для этого Вам нужно найти значения случайного вектора $(\eta_1, \eta_2)$ и соответствующие им вероятности.
Например, вектор $(\eta_1, \eta_2)$ принимает значение $(-3, 2)$ с вероятностью $1/8$. Остальные можно посчитать.

(Для проверки правильности выполнения упражнения можно потом будет найти и частные (маргинальные) ряды распределения $\eta_1$ и $\eta_2$ двумя способами. Первым способом — по рядам распределения $\xi_1$ и $\xi_2$ по совместному распределению $\xi_1$ и $\xi_2$, а вторым способом — по полученному ряду распределения двумерного вектора $(\eta_1, \eta_2)$. Они должны совпадать.)

[Aiyyaa]

GAA в сообщении #1252058 писал(а):

Для этого Вам нужно найти значения случайного вектора $(\eta_1, \eta_2)$ и соответствующие им вероятности.

я не понимаю, как их найти, мне не ясно, как например найти распределение $\eta_1=\xi_1+\xi_2$

GAA в сообщении #1252058 писал(а):

Например, вектор $(\eta_1, \eta_2)$ принимает значение $(-3, 2)$ с вероятностью $1/8$. Остальные можно посчитать.

как получается это значение?

[GAA]

Aiyyaa в сообщении #1252059 писал(а):

как получается это значение?

По условию случайный вектор $(\xi_1, \xi_2)$ принимает значение $(-1, -2)$ c вероятностью $1/8$. Этому значению соответствует значение случайного вектора $(\eta_1, \eta_2)$ равное $(-3, 2)$. При других значениях $(\xi_1, \xi_2)$ значение $(-3, 2)$ вектора $(\eta_1, \eta_2)$ не получить, если я не ошибся. Следовательно вероятность значения $(-3, 2)$ случайного вектора $(\eta_1, \eta_2)$ равна $1/8$.

[Aiyyaa]

мне не понятно, как получаются сами значения $\eta_1$ и $\eta_2$
вот есть совместный закон распределения случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \xi_1 \backslash \xi_2 & -2 & 0 & 1\\ \hline -1 & 1/8 & 1/4 & 1/8\\ \hline 1& 1/16 & 1/16&3/8 \\ \hline \end{array}
его можно переписать в виде двух таблиц, одной для $\xi_1$:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \xi_1 & -1 & 1\\ \hline p & 1/2 & 1/2\\ \hline \end{array}
и для $\xi_2$:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \xi_2 & -2 & 0 & 1\\ \hline p & 3/16 & 5/16& 1/2\\ \hline \end{array}
и вот как получить из этих таблиц значения например $\eta_1=\xi_1+\xi_2$? Ведь тут например $\xi_1$ и $\xi_2$ принимают разные значения. Нужно что-то с чем-то перемножать?

[GAA]

Не надо находить маргинальные распределения случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$. Используйте совместное распределение $\xi_1$ и $\xi_2$.
Смотрим в таблицу из начального сообщения. Случайный вектор $(\xi_1, \xi_2)$ принимает значение $(-1, -2)$ c вероятностью $1/8$. Этому значению соответствует значение случайного вектора $(\eta_1, \eta_2)$

$(\,-1+(-2), (-1)\cdot (-2)\,) \equiv ( -3, 2).$

Это понятно?

[Aiyyaa]

понятно, то есть подставляем все значения $\xi_1$ и $\xi_2$ в $\eta_1$ и $\eta_2$
получается 6 значений:
$ p=1/8:(\xi_1,\xi_2)=(-1,-2)$, тогда $(\eta_1,\eta_2)=(-3,2)$
$p=1/4:(\xi_1,\xi_2)=(-1,0)$, тогда $(\eta_1,\eta_2)=(-1,0)$
$p=1/8:(\xi_1,\xi_2)=(-1,1)$, тогда $(\eta_1,\eta_2)=(0,-1)$
$p=1/16:(\xi_1,\xi_2)=(1,-2)$, тогда $(\eta_1,\eta_2)=(-1,-2)$
$p=1/16:(\xi_1,\xi_2)=(1,0)$, тогда $(\eta_1,\eta_2)=(1,0)$
$p=3/8:(\xi_1,\xi_2)=(1,1)$, тогда $(\eta_1,\eta_2)=(2,1)$
отсюда получается, что $\eta_1$ принимает 5 значений, то есть $(-3,-1,0,1,2)$ и $\eta_2$ принимает тоже 5 значений $(-2,-1,0,1,2)$
то есть нужно составить таблицу $5\times 5$?
И что будет с вероятностями? Если вероятность при $(\xi_1,\xi_2)=(-1,-2)=1/8$, то при соответствующем этому вектору $(\eta_1,\eta_2)=(-3,2)$ вероятность тоже будет $1/8$? Если да, то как быть с вероятностями например значений $(\eta_1,\eta_2)=(1,1)$, как такие значения узнать?

[GAA]

Aiyyaa в сообщении #1252078 писал(а):

...то есть нужно составить таблицу $5\times 5$?

Да.

Aiyyaa в сообщении #1252078 писал(а):

Если да, то как быть с вероятностями например значений $(\eta_1,\eta_2)=(1,1)$

0

[Aiyyaa]

то есть получается вот такая таблица?
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \eta_1 \backslash \eta_2 & -2 & -1&0 & 1&2\\ \hline -3 & 0 & 0 & 0 &0&1/8\\ \hline -1& 1/16 & 0&1/4&0&0 \\ \hline 0&0 &1/8&0&0&0 \\ \hline 1&0&0&1/16&0&0\\ \hline 2&0&0&0&3/8&0 \\\hline \end{array} $

[GAA]

У меня получилась такая же.

Aiyyaa в сообщении #1252055 писал(а):

корреляция между этими величинами равна $\frac{5}{\sqrt{79}}$, то есть эти величины не являются независимыми.

Лучше и проще по распределению (табличке) посмотреть, что величины не являются независимыми.

[Aiyyaa]

GAA в сообщении #1252092 писал(а):

Лучше и проще по распределению (табличке) посмотреть, что величины не являются независимыми.

а как считать корреляцию между двумя дискретными случайными величинами, если их законы распределения заданы отдельно, то есть совместный закон распределения не задан?
вот формула корреляции:
$\rho(\xi_1,\xi_2)=\frac{M(\xi_1-M\xi_1)(\xi_2-M\xi_2)}{\sqrt{D_{\xi_1}\cdot D_{\xi_2}}}$
числитель можно записать в виде:
$M(\xi_1-M\xi_1)(\xi_2-M\xi_2)=M(\xi_1,\xi_2)-M\xi_1\cdot M\xi_2$
и вот $M(\xi_1,\xi_2)$ мне не понятно как находить, если не задан совместный закон распределения. То есть если задан совместный закон распределения, то нужно перемножить каждое значение одной случайной величины на значение второй случайной величины и на их вероятность и всё сложить. А когда не задан совместный закон распределения как это значение находить?

[Someone]

Aiyyaa в сообщении #1252098 писал(а):

а как считать корреляцию между двумя дискретными случайными величинами, если их законы распределения заданы отдельно, то есть совместный закон распределения не задан?

Никак.

[Aiyyaa]

Someone в сообщении #1252104 писал(а):

Никак.

то есть если бы были заданы 2 случайные величины с помощью таблиц, например:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \xi_1 & -1 & 1\\ \hline p & 1/2 & 1/2\\ \hline \end{array}
и:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \xi_2 & -2 & 0 & 1\\ \hline p & 3/16 & 5/16& 1/2\\ \hline \end{array}
то посчитать коэффициент корреляции между $\xi_1$ и $\xi_2$ было бы невозможно?

[GAA]

Да.