Помогите опознать

[evgenykurbatov]

Дано риманово многообразие и два касательных векторных поля $X$ и $Y$ на нём. Проведём через некоторую точку $P$ на многообразии две гладкие кривые так, чтобы поле $X$ касалось первой кривой, а $Y$ - второй. Параметризуем кривые одним параметром $s$ так, чтобы $s=0$ соответствовало точке $P$. Мне нужно опознать следующее выражение:

$$ \partial_s \varphi = X \partial_s Y - Y \partial_s X \;. $$

Справа стоят скалярные произведения векторов. Эта штука похожа на производную Ли, но не совсем. Пробовал определить одно из векторных полей как канонический импульс для некоторого гамильтониана - не помогло. Есть идеи? Цель: найти $\varphi$.

[svv]

Кое-что непонятно.
$\varphi$ — скалярная функция?
Что такое $\partial_s$ ? Если есть только одна кривая $x=\gamma(s)$, то, наверное, $\partial_s\varphi$ — это $\frac{d\varphi(\gamma(s))}{ds}$. Но кривых две. Как тогда зависит точка, в которой берётся значение функции, от параметра $s$?
Как вычисляется производная от векторного поля? Используется параллельный перенос вдоль кривой?

[evgenykurbatov]

svv в сообщении #1251660 писал(а):

Кое-что непонятно.
$\varphi$ — скалярная функция?
Что такое $\partial_s$ ? Если бы была только одна кривая $x=\gamma(s)$, я бы понял $\partial_s\varphi$ как $\frac{d\varphi(\gamma(s))}{ds}$. Но кривых две. Как тогда зависит точка, в которой берётся значение функции, от параметра $s$?
Как вычисляется производная от векторного поля? Используется параллельный перенос вдоль кривой?

Да, $\varphi$ - скаляр. Кривые параметризованы одним параметром, т.е. при шевелении $s$ шевелятся точки на обеих кривых. Пусть это будут натуральные параметризации, если так удобнее. В производных подразумевается параллельный перенос.

[svv]

Хорошо, а по какой кривой при изменении $s$ «едет» точка, в которой берётся значение $\varphi$?

-- Пт сен 29, 2017 00:16:59 --

Я, кажется, понял. Ваше $\varphi$ не есть скалярное поле, то есть это не функция точки на многообразии, а только функция параметра $s$, верно?

[evgenykurbatov]

svv в сообщении #1251670 писал(а):

Хорошо, а по какой кривой при изменении $s$ «едет» точка, в которой берётся значение $\varphi$?

-- Пт сен 29, 2017 00:16:59 --

Я, кажется, понял. Ваше $\varphi$ не есть скалярное поле, то есть это не функция точки на многообразии, а только функция параметра $s$, верно?

Коллеги, я облажался. Требуется уточнение: поля $X$ и $Y$ не касаются своих кривых, а торчат как попало. Это всё усложняет.

Что такое $\varphi$ - нужно понять.

[svv]

evgenykurbatov в сообщении #1251672 писал(а):

поля $X$ и $Y$ не касаются своих кривых, а торчат как попало

Я по инерции доскажу то, что хотел, про случай, когда поля всё-таки касательны к кривым.

Чтобы $\varphi$ не зависело от выбора параметризации, можно считать, как Вы сказали, параметр $s$ натуральным. А можно (тоже очень естественный вариант) на каждой кривой привязать параметризацию $s$ к векторному полю: потребовать, чтобы на кривой для любой функции $f$ выполнялось $\frac{df}{ds}=Xf$. Это можно записать короче: на кривой $\frac d{ds}=X$.

-- Пт сен 29, 2017 01:18:22 --

Запишу в более привычных обозначениях ($X,Y$ не обязательно касательные к кривым).
На одной кривой параметр $s$, на другой $t$.
Пусть $U(s), V(t)$ — касательные векторы к кривым: $\frac d{ds}=U$, $\frac d{dt}=V$. Если параметризация натуральная, векторы $U(s)$ и $V(t)$ при любом значении параметра единичные.
Правая часть Вашего выражения равна $\langle X,\nabla_V Y\rangle -\langle Y,\nabla_U X\rangle$.
В индексной записи это
$g_{ik}X^i V^\ell\left(\dfrac{\partial Y^k}{\partial x^\ell}+\Gamma^k_{\ell m}Y^m\right)-g_{ik}Y^i U^\ell\left(\dfrac{\partial X^k}{\partial x^\ell}+\Gamma^k_{\ell m}X^m\right)\, ,$
причём $U^\ell \frac{\partial}{\partial x^\ell}=\frac d{ds}, \;\;V^\ell \frac{\partial}{\partial x^\ell}=\frac d{dt}$.
Так как $U,V$ никак не связаны с $X,Y$, ничего хорошего здесь ожидать не приходится.

[evgenykurbatov]

svv в сообщении #1251677 писал(а):

Разве не правильнее писать $d/ds = V \nabla$?
Давайте возьмём простой случай. Пусть кривые совпадают, тогда справа имеем

$$\langle X, (V \nabla) Y\rangle -\langle Y, (V \nabla) X\rangle = \langle X, L_V Y \rangle - \langle Y, L_V X \rangle - (X \otimes Y - Y \otimes X) (\nabla \otimes V) \;.$$

Здесь $L_V Y$ - производная Ли; $\otimes$ - внешнее произведение векторов. Тоже ничего хорошего.

[svv]

В записи $\frac{d}{ds}=V$ касательный вектор $V$ понимается как оператор дифференцирования, как и в записи $\frac{df}{ds}=Vf$.
Чтобы подчеркнуть «операторность», пишут также $D_V$. А вот значок $\nabla$ зарезервирован за ковариантной производной, предполагающей, что задана связность (хотя при дифференцировании скалярных функций она и не используется).