Двойственность алгебры и топологии - вопрос к Руст

[lofar]

Руст писал(а):

На самом деле в совремённых курсах диф.геометрии фактически дифференцирования (алгебра Ли дифференцирований) определяется аксиоматически, как линейные операторы удовлетворяющие правиле Лейбница для произведения. Я как то обобщил эту конструкцию так, что все встречающиеся непрерывные структуры (типа топологий, гладких структур и т.д.) определяются двойственным образом к алгебраическим структурам. Упрощённно говоря алгебраическая структура на категории множеств определяется заданием для каждого элемента (объекта) Х множеством отображений из элементов некоторой маленькой подкатегории. Для простоты рассмотрим, когда эта подкатегория состоит из единственного множества А. Соответственно на X определяется алгебраическая структура заданием некоторого множества $\Phi(X)$ отображений из А в Х, соответственно на Y заданием $\Phi(Y)$. Отображение $f:X\to Y$ сохраняет структуру (или гомоморфизм), если для любого $g:A\to X \in \Phi(X)$ отображение $gf:A\to Y\in \Phi(Y)$ (я использовал ковариантную запись для произведения, обычно употребляют контравариантную запись и пишут $fg$ вместо написанного. Это можно считать категорией сохраняющей отношения на объектах. Можно определить категории сохраняющие операции, операции и тождества, т.е. теорию универсальных алгебр можно изложить на языке теории категорий. Непрерывные структуры, можно определить как объекты с множеством $\Phi(X)$ отображений $g:X\to A$ и отображение $f:X\to Y$ непрерывно (гомоморфизм), если для любого $g:Y\to A$ отбражение $fg:X\to A \in \Phi(X)$. Т.е. непрерывные структуры определяются полностью двойственно к алгебраическим структурам. Отличия появляются только из-за того, что мы работаем с не самодвойственной категорией множеств.
Что касается теоремы Ролля, она к этому не имеет отношения, теорема есть следствие теоремы о принятии промежуточного значения функции f'(x), т.е. свойство полноты R. К тому же имеется множество пополнений Q, и выделять только архимедово старомодно и надо работать со всеми, т.е. с аделями.

Руст, не могли бы вы пояснить, как с помощью вашей конструкции задать, скажем, категорию полугрупп? Какую малую категорию следует взять в этом случае?

[Руст]

Универсальные алгебры представляются как алгебры с операциями и тождествами. Операции определяются очень просто. Пусть $f:A\to B$ мономорфизм, тогда множество отношений $g:B\to X \in \Phi(X)$ на объекте Х называется А местной операций, если множество $fg:A\to X, g\in \Phi(X)$ совпадает Mor(A,X) и отображение $f^*\Phi(X)\to Mor(A,X)$ ставящей $g\to fg$ инъективно (тут отображение множеств). Примерно так же определяются слова и тождества. Подробнее об этом можно читать в статье, которую Шамолин М.В. пристроил в ВИНИТИ в прошлом году. Там есть и представление топологической структуры как коуниверсальной алгебры. Если есть необходимость я готов выслать это вам.