Аксиома полноты

[Mikhail_K]

ewert, мне кажется, что mihaild вполне наслышан о том, что $\sup\varnothing=-\infty$, но не считает этот ответ корректным по причине

mihaild в сообщении #1251221 писал(а):

мы на обычной прямой, не компактифицированной

Для этого он и сделал такое уточнение.

ewert в сообщении #1251442 писал(а):

Ну это какое-то занудство. Всё гораздо проще.

А здесь Вы вообще говорите не о супремуме, а просто о верхней грани. Что любое число является для $\varnothing$ верхней гранью - очевидно. Но вопрос был о точной верхней грани.

[ewert]

mihaild в сообщении #1251445 писал(а):

Супремум - это наименьшая из верхних границ. Предъявите, пожалуйста, наименьшее число из $\mathbb{R}$.

Первое -- безусловно, а вот второе требование совершенно напрасно. Что является супремумом множества, не ограниченного сверху?...

Вот так же и птички. И то, и другое -- это естественные доопределения понятия супремума. Именно доопределения, компактификация тут не при чём.

-- Чт сен 28, 2017 13:15:57 --

Mikhail_K в сообщении #1251446 писал(а):

Но вопрос был о точной верхней грани.

Но, как метко заметил сам mihaild, не о точной, а о наименьшей. Что, конечно, эквивалентно, но в качестве исходного определения второе удобнее.

[grizzly]

ewert в сообщении #1251449 писал(а):

Вот так же и птички. И то, и другое -- это естественные доопределения понятия супремума. Именно доопределения, компактификация тут не при чём.

Вы не могли бы уточнить, зачем тогда Вам потребовалось условие ограниченности множества здесь:

ewert в сообщении #1251120 писал(а):

1. Каждое ограниченное множество имеет супремум.

Другой вопрос: считаете ли Вы, что в множестве рациональных чисел любое подмножество имеет точные верхнюю и нижнюю грани? Ведь они всегда легко доопределяются.

[realeugene]

Mikhail_K в сообщении #1251446 писал(а):

А здесь Вы вообще говорите не о супремуме, а просто о верхней грани.

В стоящем у меня на полке учебнике матанализа термин "верхняя грань" определён как синоним термину "точная верхняя грань", в отличие от термина "число, ограничивающее множество".

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1251462 писал(а):

"число, ограничивающее множество"

Не знаю, что за учебник, но звучит как-то немного архаично.

[realeugene]

Mikhail_K в сообщении #1251463 писал(а):

Не знаю, что за учебник, но звучит как-то немного архаично.

Л. Д. Кудрявцев, "Курс математического анализа", т. 1: М., Высшая школа, 1988

-- 28.09.2017, 13:43 --

ewert в сообщении #1251127 писал(а):

Пустое, между прочим, тоже имеет супремум, но уже по тривиальным причинам.

Такое доопределение понятия мне кажется малополезным, так как оно нарушает многие свойства точных граней, такие, как то, что нижняя грань числового множества не превышает верхнюю, и что существуют сходящиеся к граням последовательности из элементов множества.

-- 28.09.2017, 14:14 --

grizzly в сообщении #1251457 писал(а):

Другой вопрос: считаете ли Вы, что в множестве рациональных чисел любое подмножество имеет точные верхнюю и нижнюю грани? Ведь они всегда легко доопределяются.

Всё-таки разумное доопределение точных граней бесконечностями удобно и широко используется. Но! В учебнике Кудрявцева, например, они доопределены только для непустых множеств. Соответственно, для непустого неограниченного сверху множества супремум доопределён как $+\infty$, а для непустого неограниченного снизу множества инфимум доопределён как $-\infty$.

[mihaild]

realeugene в сообщении #1251469 писал(а):

Такое доопределение понятия мне кажется малополезным, так как оно нарушает многие свойства точных граней, такие, как то, что нижняя грань числового множества не превышает верхнюю, и что существуют сходящиеся к граням последовательности из элементов множества.

Зато возвращает на место свойства вроде "супремум объединения есть супремум супремумов".

Вообще, если уж доопределять, то честно брать $\overline{\mathbb{R}}$ как упорядоченное множество (оно как порядок и как топологическое пространство изоморфно отрезку), и там мы сразу получим $\sup \varnothing$ из общего определения.

[realeugene]

mihaild в сообщении #1251565 писал(а):

и там мы сразу получим $\sup \varnothing$ из общего определения.

Это если ваше "общее определение" не исключает пустое множество явно.

[arseniiv]

А зачем общему определению его исключать? А вот доопределять супремум ad hoc в рамках именно $\mathbb R$, а не $\overline{\mathbb R}$ лично мне как-то не хочется, и если бы такого полезного $\overline{\mathbb R}$ не существовало, такое доопределение смотрелось бы явно о-очень подозрительно.

Это как в физике — некоторые трюки, которые физики делают, пока математики отвернулись, на самом деле обоснованы какой-то более аккуратно выстроенной теорией, и о них у физика будет вряд ли такое же ощущение, как от трюков, которые приводят к ерунде, и как раз не могут быть подкреплены подобным образом математически. Тут тоже может захотеться не вводить $\overline{\mathbb R}$ и доопределить, раз работать будет так же, но фактически $\overline{\mathbb R}$ всё же будет введено, раз нам надо будет условиться на отношении порядка между обычными вещественными числами и $\pm\infty$. Так что я в данном случае доопределение совершенно не понимаю: мы ничего не теряем, определив супремум для произвольного линейно упорядоченного множества (и даже частично упорядоченного, хотя что-то не помню, где в элементарном матанализе это может пригодиться, и меня тут потому, вероятно, остановят) и различая супремумы на $\mathbb R$ и $\overline{\mathbb R}$ (если будет недостаточно только какого-то одного).

[ewert]

grizzly в сообщении #1251457 писал(а):

ewert в сообщении #1251449 писал(а):

Вот так же и птички. И то, и другое -- это естественные доопределения понятия супремума. Именно доопределения, компактификация тут не при чём.

Вы не могли бы уточнить, зачем тогда Вам потребовалось условие ограниченности множества здесь:

ewert в сообщении #1251120 писал(а):

1. Каждое ограниченное множество имеет супремум.

Нормальная небрежность. Неизбежная. Чуть позже поясню.

grizzly в сообщении #1251457 писал(а):

Другой вопрос: считаете ли Вы, что в множестве рациональных чисел любое подмножество имеет точные верхнюю и нижнюю грани? Ведь они всегда легко доопределяются.

Нет, конечно; такая трактовка не годится уже никуда. Это уже ни разу не доопределение, это аксиоматизация.

arseniiv в сообщении #1251579 писал(а):

А вот доопределять супремум ad hoc в рамках именно $\mathbb R$, а не $\overline{\mathbb R}$ лично мне как-то не хочется, и если бы такого полезного $\overline{\mathbb R}$ не существовало, такое доопределение смотрелось бы явно о-очень подозрительно.

Так вот, пояснение. Ребята, вы все как-то забываете контекст. Где и когда это всё происходит. А происходит всё это, между прочим, в первом семестре.

И когда я спрашиваю первокурсников: а как у вас в школе определялись вещественные числа?... -- в подавляющем большинстве случаев слышу ответ: "хм".

А вы про расширенную ось. Неуместно это абсолютно. Т.е. польза от неё будет только в запудривании мозгов.

-- Пт сен 29, 2017 12:18:03 --

realeugene в сообщении #1251462 писал(а):

в отличие от термина "число, ограничивающее множество".

Нормальный термин здесь -- просто "верхняя граница". Дальше возникает путаница: кто-то называет гранью именно точную границу, а кто-то -- просто границу. Во избежание путаницы я лично термин "грань" не употребляю.