Изменить порядок интегрирования

[Key27]

$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}dy\int_{\sqrt{12-{y}^{2}}}^{2+\sqrt{4-{y}^{2}}}f(x,y)dx$ Решил начать с графика. Выразил y из $\sqrt{12-{y}^{2}}$, получил $y=\sqrt{12-{x}^{2}}$. Это верхняя полуокружность с радиусом $\sqrt{12}$ Далее выразил $y$ из $2+\sqrt{4-{y}^{2}}$ и получил $2+\sqrt{4-{x}^{2}}$. Это верхняя часть полуокружности с центром в (0,2) и радиусом $\sqrt{8}$

Если все, что выше-правильно, то как здесь менять порядок? Совсем не понятно.

[garin99]

Правая половинка окружности, а не верхняя

[Key27]

garin99
А какая из двух?


Не понятно у какой области менять порядок интегрирования, ее толком нет.

[garin99]

Для обеих окружностей правая половина, у меньшей центр не там.

[warlock66613]

Key27, зря вы выражаете $y$ (тем более, зря вы делаете это неправильно). Стройте график, исходя непосредственно из $x(y)$.

[Key27]

Готово. Менять порядок нужно по области между двумя полуокружностямя?(между красной и синей)

[garin99]

угу

[Key27]

Получается так?

$$\int\limits_{\sqrt{12}}^{4}dx (\int\limits_{\sqrt{3}}^{-\sqrt{{4-(x-2)}^{2}}}f(x,y) dy+\int\limits_{\sqrt{{4-(x-2)}^{2}}}^{\sqrt{3}}f(x,y) dy )$$

[garin99]

Совсем не так

[Key27]

garin99
Почему? Что не правильно?

[teleglaz]

Ну, кроме рисунка, всё остальное.

Во-первых, даже если не учитывать отсутствия минуса в нижннм пределе первого интеграла по dy, то все равно возникает вопрос: Вы уверены что входите и выходите из области вдоль у по корню из трёх?

Во-вторых, проверьте изменение переменной х в вашей области. Мне кажется, оно несколько шире.

Ну и в-третьих, ваша область не является правильной вдоль оси Оу, а вас заставляют по ней интегрировать в первую очередь. Так что, надо разбить на правильные, а уж потом чего-то расставлять.

Удачи!

[Key27]

teleglaz

teleglaz в сообщении #1251382 писал(а):

Во-вторых, проверьте изменение переменной х в вашей области. Мне кажется, оно несколько шире.

Если я правильно разобрался, то от 3, тк все 3 функции там пересекаются

teleglaz в сообщении #1251382 писал(а):

Ну и в-третьих, ваша область не является правильной вдоль оси Оу, а вас заставляют по ней интегрировать в первую очередь. Так что, надо разбить на правильные, а уж потом чего-то расставлять.

У меня получилось вот так
$$$\int\limits_{3}^{\sqrt{12}}dx(\int\limits_{-\sqrt{4-{(x-2)}^{2}}}^{-\sqrt{12-{x}^{2}}}dy+\int\limits_{\sqrt{12-{x}^{2}}}^{\sqrt{4-{(x-2)}^{2}}})+\int\limits_{\sqrt{12}}^{4}dx\int\limits_{--\sqrt{12-{x}^{2}}}^{-\sqrt{12-{x}^{2}}}dy$$ И, получается, что область от $-\sqrt{3}$ $\sqrt{3}$ не играет никакой роли?$

[teleglaz]

Осталось только правильно расставить пределы интегрирования в самом последнем интеграле и не забывать писать подынтегральную функцию и дифференциалы. И всё будет хорошо.

[Key27]

teleglaz
Ой,

$$$\int\limits_{3}^{\sqrt{12}}dx(\int\limits_{-\sqrt{4-{(x-2)}^{2}}}^{-\sqrt{12-{x}^{2}}}f(x,y)dy+\int\limits_{\sqrt{12-{x}^{2}}}^{\sqrt{4-{(x-2)}^{2}}}f(x,y)dy)+\int\limits_{\sqrt{12}}^{4}dx\int\limits_{-\sqrt{12-{x}^{2}}}^{\sqrt{12-{x}^{2}}}f(x,y)dy$$

[teleglaz]

Всё равно последние пределы неверные.