Игра устройств.

[wrest]

worm2 в сообщении #1251147 писал(а):

А не знает, с какой вероятностью Б что-то выбрасывает.

А... а почему не знает? Он же может подсчитать сколько единиц и двоек в течение текущей игры Б уже выбросил, и из этого получить верояность :)

Или это просто такие приняты правила в подобных задачах: игроки делают ходы независимо и не знают результата до конца игры (т.е. до конца всей /бесконечной/ серии бросков).

[atlakatl]

wrest
Изменение вероятностей в процессе игры можно рассмотреть в другой раз.
Сейчас, как предложил worm2, нужно так выставить вероятности $p_A$, $p_B$ на каждом из устройств, чтобы проиграть как можно меньше. В процессе игры прикасаться к ним уже нельзя.

[wrest]

С точки зрения A:
Если вероятность что Б выкидывает единицу меньше $0,6$ то А надо всегда выкидывать единицу, в противном случае - всегда выкидывать двойку. При $0,6$ все равно.

[atlakatl]

wrest
Всё-таки занялись изменением вероятности по ходу игры?
Анализ такой игры очень сложен. Пока задача попроще.
В теории игр по умолчанию предполагается обратная ситуация:
Противник знает твою стратегию и может подобрать свои действия именно с твоей стратегией. Т.е. надо из континуума стратегий выбрать именно такую, что твой проигрыш будет минимальным, как бы противник не старался сделать его максимальным.
В Вашем решении это не выполняется. Решись Вы всегда выкладывать одно число, противник просто будет делать то же самое.

[SVD-d]

Хммм...

Давайте для простоты будем считать, что игра продлится ровно один раунд. Тогда среднее число очков, которое может получить устройство А есть функция двух вероятностей и количества очков, получаемых А:
$f(p^{\text{А}}_{1}, p^{\text{Б}}_{1}, n) = n p^{\text{A}}_{1} p^{\text{Б}}_{1} - 2 p^{\text{A}}_{1} (1-p^{\text{Б}}_{1}) = p^{\text{A}}_{1} ((2+n) p^{\text{Б}}_{1} - 2)$
Попробуем найти максимум или минимум функции:
$\frac{\partial f}{\partial p^{\text{А}}_{1}} = ((2+n) p^{\text{Б}}_{1} - 2)$
И он от вероятности $p^{\text{А}}_{1}$ не зависит. То есть, какую вероятность ни выбрать, результат будет один и тот же.

Что же нам сделать, чтобы уравнять шансы? Приравняем $f$ к нулю.
$p^{\text{A}}_{1} ((2+n) p^{\text{Б}}_{1} - 2) = 0$
$((2+n) p^{\text{Б}}_{1} - 2) = 0$
Хммм...
$(2+n) p^{\text{Б}}_{1} = 2$
$n = \frac{2}{p^{\text{Б}}_{1}} - 2$
Кажется, что-то пошло не так.

[wrest]

atlakatl в сообщении #1251188 писал(а):

Противник знает твою стратегию и может подобрать свои действия именно с твоей стратегией.

Тогда огласите стратегию Б, чтобы можно было подобрать стратегию для А.

[atlakatl]

SVD-d в сообщении #1251190 писал(а):

$f(p^{\text{А}}_{1}, p^{\text{Б}}_{1}, n) = n p^{\text{A}}_{1} p^{\text{Б}}_{1} - 2 p^{\text{A}}_{1} (1-p^{\text{Б}}_{1}) = p^{\text{A}}_{1} ((2+n) p^{\text{Б}}_{1} - 2)$

Вы написали функцию выигрыша А или Б? Напутали в любом случае.
Напомню, есть 4 варианта: $(1;1), (1;2), (2;1), (2;2)$. Все их надо учесть в этой функции.

-- 27.09.2017, 18:31 --

wrest
Не имею права. Ситуация именно такова: вы стратегии противника не знаете, а он о вашей прекрасно осведомлён.

[Sender]

wrest в сообщении #1251196 писал(а):

Тогда огласите стратегию Б, чтобы можно было подобрать стратегию для А.

Исходите из того, что она оптимальна.

-- Ср сен 27, 2017 15:28:55 --

wrest
, возможно, вам будет небезынтересно почитать про равновесие Нэша. В интернете полно материала по этой теме.

[g______d]

atlakatl в сообщении #1251093 писал(а):

Коль мы говорим об устройствах, то имеем ввиду предварительное задание вероятностей формирования 1 и 2 каждым из них.

Ну вот видите, вы предлагаете, во-первых, вероятностные стратегии, а во-вторых, почему-то не разрешаете учитывать предысторию. Оба выбора не очевидны и их нужно было обозначить сначала.

[upgrade]

Не понял при чем тут вероятности у А и Б.
Насколько я понял задачу, игроки А и Б сами решают, какое число показать. У обоих задача набрать максимум.

[wrest]

upgrade в сообщении #1251245 писал(а):

Насколько я понял задачу, игроки А и Б сами решают, какое число показать. У обоих задача набрать максимум.

Да, но решают ДО начала игры. Играется одна серия из $N$ бросков ($N$ очень велико).
Перед серией оба игрока в тайне друг от друга пишут на бумажку последовательность из $N$ единиц\двоек, а потом по этим бумажкам ведется подсчет кто выиграл.

[atlakatl]

g______d
Стратегия может быть детерминированной, спорить не буду. Только соперник должен перед началом игры её знать.
Предысторию учитывать это даже не олимпиадная задача. Не представляю, какими моделями адекватно описать этот учёт. По крайней мере, в неё должен включаться психоэмоциональный портрет соперника.

-- 27.09.2017, 20:46 --

wrest
Это другая задача. Она тоже трудноформализуемая на языке теории вероятностей. Методы матана к последовательности также трудно применить.

[g______d]

atlakatl в сообщении #1251252 писал(а):

Только соперник должен перед началом игры её знать.

Ну тогда ваше утверждение про «определяется двумя числами» неверно. Я поэтому и попросил точное математическое определение, чтобы не было пяти разных человек в теме, каждый со своим пониманием условия. Разумеется, если вашей целью было предложить задачу, а не создать хаос.

[atlakatl]

g______d
Намечавшийся было хаос предотвратил своими комментариями worm2
Но похоже, он, хаос, снова грозит разгуляться.

[zhekas]

Лучшая стратегия для обоих - это с вероятностью 7/12 выдавать единицу.

Тогда средний выигрыш для A (и соответственно средний проигрыш для Б) составит 1/24