Принцип суперпозиции

[warlock66613]

Дело не в аппроксимации, а в том, что когда в формуле есть дельта-функция, то эта формула подразумевает последующее интегрирование. Нетрудно показать, что когда мы пишем формулу $\int\limits_{x_0}^{x_0+D}|\psi(x)|^2dx$ для вероятности того, что $x$ принимает значение из некоторого узкого промежутка $[x_0, x_0+D]$, то мы тем самым подразумеваем уже не проекцию на дельта-образное состояние, а проекцию на нормальное, физическое состояние, описывающееся линейной комбинацией дельта-функций. а не просто дельта-функцией:

$$\int\limits_{x_0}^{x_0+D}|\psi(x)|^2dx = \int|\psi(x)|^2 \theta(x - x_0)\theta(x_0+D - x)dx = \int\psi^*(x) \psi(x) \theta(x - x_0)\theta(x_0+D - x)dx =$$

$$= \int\psi^*(x) \left[\int \psi(\eta) \theta(\eta - x_0)\theta(x_0+D - \eta)\delta(x - \eta) d\eta \right] dx = $$

$$ = \int\psi^*(x) \left[\int\limits_{x_0}^{x_0+D} \psi(\eta) \delta(x - \eta) d\eta \right] dx = \int \psi^*(x) \varphi(x) dx,$$

где $\varphi(x)$ и есть эта самая комбинация дельта-функций: $\varphi(x)= \int\limits_{x_0}^{x_0+D} \psi(\eta) \delta(x - \eta) d\eta.$

[edge]

warlock66613 в сообщении #1250915 писал(а):

Дело не в аппроксимации, а в том, что когда в формуле есть дельта-функция, то эта формула подразумевает последующее интегрирование.

получается разложение волновой функции свободной частицы по дельта-функциям - это линейная комбинация "отдельных" линейных комбинаций(если можно так выразиться)? я правильно понимаю?
к данному разложению более подходит определение: "суперпозиция дельта-образных состояний"?

[warlock66613]

edge в сообщении #1250927 писал(а):

получается разложение волновой функции свободной частицы по дельта-функциям - это линейная комбинация "отдельных" линейных комбинаций(если можно так выразиться)?

Ну, я бы не стал говорить прямо вот так, особенно учитывая, что "отдельные" линейные комбинации, вообще говоря, не обязаны быть ортогональны друг к другу, но да, когда мы разлагаем волновую функцию по дельта-функциям, то это в некотором роде промежуточный шаг, а в конце дельта-функции будут как-то свёрнуты в какие-то линейные комбинации.

edge в сообщении #1250927 писал(а):

к данному разложению более подходит определение: "суперпозиция дельта-образных состояний

Я бы не сказал, что это подходит более.

[arseniiv]

В общем, edge, главное ведь не назвать* всё что можно, главное уметь этим всем оперировать.

* Словами. Формулы — название не хуже, а часто и лучше.

[edge]

спасибо всем за помощь

[edge]

Здравствуйте! В прошлый раз мне помогли разобраться. Надеюсь и в этот раз без внимания не останется мой вопрос. Хотелось бы задать еще один вопрос. У Ландау написано

Цитата:

В соответствии с принципом суперпозиции можно утверждать, что волновая функция $\Psi$ должна представлять собой линейную комбинацию тех из собственных функций $\Phi_{n}$, которые соответствуют значениям $f_{n}$, могущим быть обнаруженными с отличной от нуля вероятностью при измерении, произведенном над системой, находящейся в рассматриваемом состоянии. Поэтому в общем случае произвольного состояния функция $\Psi$ может быть представлена в виде ряда:
$\Psi=\sum\limits_{n}^{}a_{n}\Phi_{n}$

Хотелось бы уточнить на примере, ранее указанного разложения
$Ae^{\frac{i}{\hbar}(\operatorname{pr}-Et)}=\int\limits_{n}^{}C(r_{n},t)\delta(r-r_{n})dr_{n} $
$C(r_{n},t)=\int\limits_{}^{}\delta(r-r_{n})Ae^{\frac{i}{\hbar}(\operatorname{pr}-Et)}dr=Ae^{\frac{i}{\hbar}(\operatorname{pr_{n}}-Et)} $
Чтобы разложение описывало суперпозицию до измерения физической величины обязательно нужно, чтобы и раскладываемая функция(собственная функция оператора импульса в координатном представлении) и функции по которым раскладывают(собственная функция оператора координаты) были бы решением уравнения Шредингера? Если дельта-функция не является решением уравнения Шрёдингера, то данное разложение не описывает суперпозицию до измерения?

[edge]

Все-таки хотелось бы понять, при разложении в суперпозицию векторов состояния имеет значение, что исходная волновая функция является решением уравнения Шрёдингера, а функции(например, дельта - функции), по которым происходит разложение не являются решениями уравнения Шрёдингера? такая линейная комбинация будет описывать, скажем так, математическую суперпозицию до измерения?

[Cos(x-pi/2)]

Обычно раскладывают решение $\psi$ уравнения Шредингера. Просто потому, что физическим является именно решение уравнения Шредингера, а не какая-нибудь выдуманная совсем "с потолка" функция.

А функции, по которым раскладывают решение $\psi$, не обязаны быть решениями этого же уравнения Шредингера; они должны быть собственными функциями для интересующей физической величины.

Например, если $\psi_n(x)$ - решение уравнения Шредингера, описывающее стационарное состояние частицы в потенциальной яме $U(x)$, то с целью нахождения распределения вероятностей для импульса раскладывают $\psi_n(x)$ по собственным функциям импульса $\psi_p(x).$ Функции $\psi_p(x)$ не являются решениями уравнения Шредингера с тем же потенциалом $U(x).$

Имхо, ваш пример "с разложением по дельта-функциям" ничему особо толковому не учит (ведь в нём "коэффициенты разложения" заведомо имеют тот же вид, что и разлагаемая $\psi(x)).$ Лучше бы не зацикливаться на таком примере, а посмотреть в том же учебнике ЛЛ-3 задачу 1 в § 22 и задачу 1 в § 23 (может быть, тогда и вопроса не возникло бы).

[edge]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1343698 писал(а):

А функции, по которым раскладывают решение $\psi$, не обязаны быть решениями этого же уравнения Шредингера; они должны быть собственными функциями для интересующей физической величины.

Имхо, ваш пример "с разложением по дельта-функциям" ничему особо толковому не учит (ведь в нём "коэффициенты разложения" заведомо имеют тот же вид, что и разлагаемая

Спасибо огромное за ответ!
Хотелось бы уточнить: такое разложение(по функциям, не являющимся решениями уравнения Шрёдингера, например по дельта - функциям) так же является суперпозицией векторов состояния(нефизических) до измерения? В соответствии с принципом суперпозиции?

Рекомендованные примеры посмотрю. Спасибо!

[Cos(x-pi/2)]

Другой простой пример (хорошо известный, с него часто начинают изучение квантовой механики):

Решение временного уравнения Шредингера $i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=H\psi(x,t)$ при $U=0 $ (свободное дижение частицы) для нестационарного состояния в виде волнового пакета $\psi(x,t)$ - это суперпозиция решений $\psi_p(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_pt}$ этого же самого уравнения Шредингера.

И при ненулевом потенциале $U$ нестационарное состояние $\psi(x,t)$ это суперпозиция стационарных состояний $\psi(x)e^{-\frac{i}{\hbar}Et},$ все они - решения временного уравнения Шредингера с одним и тем же потенциалом $U(x)$.

Нестационарное состояние $\psi(x,t)$ является решением временного уравнения Шредингера $i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=H\psi(x,t),$ но не является решением стационарного уравнения Шредингера $H\psi = E\psi.$



-- 05.10.2018, 00:07 --

edge в сообщении #1343705 писал(а):

разложение(по функциям, не являющимся решениями уравнения Шрёдингера, например по дельта - функциям) так же является суперпозицией векторов состояния(нефизических) до измерения?

Является, потому что термин "суперпозиция состояний" означает попросту то же самое, что "линейная комбинация функций", то есть - сумма, пусть даже и бесконечная, (или интеграл), куда функции входят с некими коэффициентами. И термин "разложение по функциям" означает то же самое. Читайте спокойно учебник дальше и решайте задачи; когда разберёте достаточно много примеров, подобные "терминологические" вопросы отпадут сами собой.

[edge]

Cos(x-pi/2), спасибо вам большое