2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение22.09.2017, 20:21 


06/08/17
41
Доброго времени суток всем участникам! Не могу найти, известно ли в математике следующее:
"В поле рациональных чисел, для любых фиксированных $a, b$, уравнение $ a^2+b^2=(c^2+d^2)  \cdot (e^2+f^2)$" всегда имеет бесконечно много решений. И примеры, типа $1+2^2=(3^2/13^2+2^2/13^2) \cdot (7^2+4^2)=(1^2/13^2+8^2/13^2)
 \cdot (3^2+2^2)$, построить просто, и доказать в общем виде не сложно. Но, стоит ли? Может кто даст ссылку где это разобрано? (Или хоть где искать) Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение22.09.2017, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5039
Это тривиальный факт, который следует из того, что $\mathbb Q[i]$ -- поле.

В частности, если даны $a,b,c,d$ и $c^2+d^2>0$, то уравнению будет удовлетворять $e=\mathrm{Re}\,\frac{a+bi}{c+di}$, $f=\mathrm{Im}\, \frac{a+bi}{c+di}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение23.09.2017, 10:13 


06/08/17
41
Спасибо, но возможно это кажущаяся тривиальность? Простых доказательств, наверно много, но ищу на что можно сослаться в литературе. Для меня всегда было тривиальным, что простая замкнутая кривая на плоскости разбивает ее на две связные области и является их общей границей.
А оказалось, это теорема Жордана с очень сложным доказательством! Так что по прежнему прошу ссылку!

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение23.09.2017, 11:30 


21/11/12
571
Volik в сообщении #1249840 писал(а):
$ a^2+b^2=(c^2+d^2)  \cdot (e^2+f^2)$" всегда имеет бесконечно много решений.


$(c^2+d^2)(e^2+f^2)=(ce+df)^2+(cf-de)^2=(ce-df)^2+(cf+de)^2.$

Тождество оно и в Африке тождество. Если где-то не работает сложение или умножение, там да - можно порассуждать. Символы, однако, имеются в самом утверждении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение23.09.2017, 11:44 


06/08/17
41
Спасибо, но это тождество двух квадратов не имеет отношения к поставленной задаче. Оно просто переформулирует выражение в утверждении на $a^2+b^2=(c e-d f)^2+(c f+d e)$. То есть, вопрос остается открытым!

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение23.09.2017, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5469
Volik в сообщении #1249953 писал(а):
То есть, вопрос остается открытым!
Вопрос закрыт вторым сообщением в этой теме. Вы знаете, что такое модуль комплексного числа? Тогда просто подставьте в формулу числа, которые выписал g______d.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение23.09.2017, 14:03 


06/08/17
41
Исходное утверждение можно доказать и по g______d и многими другими способами! Есть ли ссылка на литературу, где это хоть упоминается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение23.09.2017, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65082
Простейшие факты обычно не упоминаются в литературе, а становятся предметом студенческих упражнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение23.09.2017, 16:20 


06/08/17
41
Ну, на нет и суда нет. Хотя и странно. Пифагоровы тройки, частный случай этой задачи, очень широко рассматриваются. А более общая задача не удостоилась внимания!

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел
Сообщение23.09.2017, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65082
Каждую задачу можно обобщить многими способами (как и сузить многими способами), и далеко не все эти обобщения интересней, чем исходная задача.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group