Разложение суммы двух квадратов в поле рациональных чисел

[Volik]

Доброго времени суток всем участникам! Не могу найти, известно ли в математике следующее:
"В поле рациональных чисел, для любых фиксированных $a, b$, уравнение $ a^2+b^2=(c^2+d^2) \cdot (e^2+f^2)$" всегда имеет бесконечно много решений. И примеры, типа $1+2^2=(3^2/13^2+2^2/13^2) \cdot (7^2+4^2)=(1^2/13^2+8^2/13^2) \cdot (3^2+2^2)$, построить просто, и доказать в общем виде не сложно. Но, стоит ли? Может кто даст ссылку где это разобрано? (Или хоть где искать) Заранее благодарен.

[g______d]

Это тривиальный факт, который следует из того, что $\mathbb Q[i]$ -- поле.

В частности, если даны $a,b,c,d$ и $c^2+d^2>0$, то уравнению будет удовлетворять $e=\mathrm{Re}\,\frac{a+bi}{c+di}$, $f=\mathrm{Im}\, \frac{a+bi}{c+di}$.

[Volik]

Спасибо, но возможно это кажущаяся тривиальность? Простых доказательств, наверно много, но ищу на что можно сослаться в литературе. Для меня всегда было тривиальным, что простая замкнутая кривая на плоскости разбивает ее на две связные области и является их общей границей.
А оказалось, это теорема Жордана с очень сложным доказательством! Так что по прежнему прошу ссылку!

[Andrey A]

Volik в сообщении #1249840 писал(а):

$ a^2+b^2=(c^2+d^2) \cdot (e^2+f^2)$" всегда имеет бесконечно много решений.

$(c^2+d^2)(e^2+f^2)=(ce+df)^2+(cf-de)^2=(ce-df)^2+(cf+de)^2.$

Тождество оно и в Африке тождество. Если где-то не работает сложение или умножение, там да - можно порассуждать. Символы, однако, имеются в самом утверждении.

[Volik]

Спасибо, но это тождество двух квадратов не имеет отношения к поставленной задаче. Оно просто переформулирует выражение в утверждении на $a^2+b^2=(c e-d f)^2+(c f+d e)$. То есть, вопрос остается открытым!

[grizzly]

Volik в сообщении #1249953 писал(а):

То есть, вопрос остается открытым!

Вопрос закрыт вторым сообщением в этой теме. Вы знаете, что такое модуль комплексного числа? Тогда просто подставьте в формулу числа, которые выписал g______d.

[Volik]

Исходное утверждение можно доказать и по g______d и многими другими способами! Есть ли ссылка на литературу, где это хоть упоминается?

[Munin]

Простейшие факты обычно не упоминаются в литературе, а становятся предметом студенческих упражнений.

[Volik]

Ну, на нет и суда нет. Хотя и странно. Пифагоровы тройки, частный случай этой задачи, очень широко рассматриваются. А более общая задача не удостоилась внимания!

[Munin]

Каждую задачу можно обобщить многими способами (как и сузить многими способами), и далеко не все эти обобщения интересней, чем исходная задача.