"Задача, взятая с потолка" (Д/Г, плоские кривые)

[Алексей К.]

Кривая приятная. С ней работать --- одно удовольствие.
Если исходный диффур

Henrylee писал(а):

Навскидку "вульгарно" в голову приходит следующее
$ds=C x\,dx$, отсюда

$$ y\prime=\sqrt{C^2x^2-1} $$

записaть как
$y'=\dfrac{\sqrt{x^2-4b^2}}{2b},$
то натуральное уравнение будет иметь вид
$k(s)=\dfrac{1}{2(s+b)}\sqrt{\dfrac{b}{s}}.$
Оно легко интегрируется:
$\tau(s)=\arctg\sqrt{\dfrac{b}{s}}$ (наклон касательной), $\cos\tau=\sqrt{\frac{b}{s+b}}, \quad \sin\tau=\sqrt{\frac{s}{s+b}}$, и т. д.
Параметризация:
$x(t)=2b\ch t,\quad y(t)=\dfrac{b}{2}\sh(2t)-bt \quad\left(\sh t=\sqrt{\dfrac{s}{b}}\right)$.
Явное уравнение --- табличный интергал.

Ну, и личные пристрастия --- люблю, когда кривизна монотонна.

В анналах её пока не нашёл, надо, видимо, имя давать.
Кривая e7e5? Кривая скучающего пассажира?

[e7e5]

С именем, не знаю, вам решать, разве это имеет значение? Мне вот непонятно до конца ( пока вопрос с зеркалом чуть оставим на время): "а именно, длина дуги будет асимптотически порпорциональна квадрату времени (длине промежутка на оси )" - когда те времена наступают? Оценка, Вернее, кроме формальной стороны, всегда хочется "ощутить" физический смысл... Эти длины - как будто какие-то странные замечательные окружности ( ну просто со школы помню про Пифагора и какие-то сферы..., так что-то вспомнилось, сорри... Интеграл правда может быть решен подстановкой Эйлера.

Добавлено спустя 1 час:

ewert писал(а):

e7e5 писал(а):

Но от потолка ведь свет отражается и там формируется изображение?

"Там" -- это за зеркалом, а не на нём.

Релятивизмами разрешаю пренебречь.

В учебнике Ландсберга изображение за зеркалом нарисовано И как это теперь влияет на кривую? Что-то я запутался... Ведь отражение ( изображение) мы все-таки видим...

[Henrylee]

e7e5 писал(а):

Мне вот непонятно до конца ( пока вопрос с зеркалом чуть оставим на время): "а именно, длина дуги будет асимптотически порпорциональна квадрату времени (длине промежутка на оси )" - когда те времена наступают?

Ну какой же тут может быть еще физический смысл? Да обычный.
При равноускоренном движении по прямой зависимость расстояния от времени какая? Квадратичная. А слова "асимптотически пропорционально квадрату" это всего лишь $S(t)=O(t^2)$, согласен, не совсем удачно сказал, это не то же самое.
Ну а вообще аккуратно начинать надо с

$$ \frac{d^2s}{dx^2}=C $$

тут вроде с физ. смыслом проблем нет. (ну только если наблюдатель смотрит,например, на одну букву всегда перпендикулярно к поверхности)

[e7e5]

Henrylee писал(а):

$$ \frac{d^2s}{dx^2}=C $$

тут вроде с физ. смыслом проблем нет. (ну только если наблюдатель смотрит,например, на одну букву всегда перпендикулярно к поверхности)

- аккуратно, да, как же наблюдатель все время на "букву" - точку всегда перпендикулярно к поверхности смотрит? Он двигаться должен? Видно я совсем недопонял Вас здесь...

[Henrylee]

e7e5 писал(а):

да, как же наблюдатель все время на "букву" - точку всегда перпендикулярно к поверхности смотрит? Он двигаться должен? Видно я совсем недопонял Вас здесь...

Я тут вот что имел в виду.
Ну скажем так: если рассмативать задачу без наблюдателя, и на самом деле надпись движется с ускорением по дуге, то с формой потолка вроде разобрались. Но вот если есть наблюдатель (смотрящий одним глазом, например), который смотрит на потолок снизу с одной точки, то он, вроде, видеть должен то же самое, что и на стене (то есть равномерное движение), если наблюдателя подвинуть, то видеть он будет некое третье движение. Вобщем я тут хочу сказать, что если Вы наблюдали потолок и решили, что движется надпись равноускоренно (или близко к тому), то для этого Вам пришлось посмотреть перпендикулярно к кривой с нескольких сторон, или, что почти то же самое, смотреть из одной точки двумя глазами и достроить модель движения на потолке бессознательно. Ну то есть выступить в роли наблюдателя, который видит все как есть.

PS Хорошее было бы название для этой темы "Задача, взятая с потолка"

[e7e5]

Henrylee писал(а):

PS Хорошее было бы название для этой темы "Задача, взятая с потолка"

Да, спасибо, понял вас. Только тему не могу поменять. Это только модератор наверное может...
1) В рамкой этой темы: можете ли сюда картинку этой " приятной" кривой вставить? Так чтобы красиво было...
2) Теперь конечно все есть по этой кривой, чтобы ее иследовать. Вопрос: Эту кривую можно построить линейкой и циркулем? - интересует способ построения кривой? Как например логарифмическую спираль.
3) Про "зазеркалье" - если наблюдатель "чуть-чуть покинет плоскость - это уже ближе к реальности. То уравнение совсем усложнится?
Сорри за множество вопросов ( надеюсь, все близко к теме).

[Mikhail Sokolov]

Вроде бы эта кривая $y=f(t)$ должна удовлетворять дифференциальному уравнению:
$\sqrt{1+y'^2}=at+b$,
где $a>0$, $b$ - некоторые константы.

[Jnrty]

e7e5 писал(а):

Только тему не могу поменять. Это только модератор наверное может...

Поменяйте заголовок у первого сообщения темы.

[Алексей К.]

Я признаться, не сильно вникал в физические образы , и заинтересовался с момента появления уравнения Henrylee.
Подумалось, в частности, --- может это чья-то эвольвента?
Соответственно, на рисунке отражено построение эволюты кривой (синее, сама кривая красная).
Эволюта оказалась кривой типа $s^2(16b^2+27s^2)k^3(s)+4b^2k(s)-2b=0$...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

и заинтересовался с момента появления уравнения Henrylee.
Подумалось, в частности, --- может это чья-то эвольвента?
Соответственно, на рисунке отражено построение эволюты кривой (синее, сама кривая красная).
[/img]

Спасибо за рисунки. Мне интересно . Т.е. теперь, насколько понимаю, вопрос в отыскании более "простой" исходной кривой по отношению к красной ( как например полукубическая парабола --- парабола). Что дает розыск?
К сожалению, так и не понял, как строить циркулем и линейкой...
Параллельно, еще вопрос позвольте, про "анналы" - чем они замечательны, что кривые в них заносят - сорри за может простой вопрос для Вас. Ведь мне кажется, что "кривых" так много, а "сборник" конечный...

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Спасибо за рисунки. Мне интересно . Т.е. теперь, насколько понимаю, вопрос в отыскании более "простой" исходной кривой по отношению к красной ( как например полукубическая парабола --- парабола).

Пример не очень удачный. Только наличие одинакового слова --- "парабола".

Примеры более по делу: парабола --- циссоида Диоклеса (одна получается из другой инверсией).
Окружность (или другая кривая) и её эвольвента (на окружность намотали нитку, её разматывают и смотрят траекторию конца).
Примеров (способов построения кривых из других кривых) --- тьмы и тьмы.

Вот ещё примерчик. Серая кривая (тропа, согласно тому сюжету) есть некая данная кривая, а красная --- её трактриса. Если в качестве серой кривой взять прямую, окружность, то можно рассчитывать на интересную (порождённую) трактрису.

e7e5 писал(а):

Что дает розыск?

Розыском займусь не активно, запишу на будущее, положу в стек. Судя по длине стека, будущее далёкое. И розыск будет в плане свойств, весьма специфических...

Пока, замечу, хорошая задачка по дифф. геометрии. Ибо все (учебные, легко решаемые) задачи на отыскание натурального уравнения кривой стары и перечислимы. Это новая.

e7e5 писал(а):

К сожалению, так и не понял, как строить циркулем и линейкой...

Полагаю, никак.

e7e5 писал(а):

Параллельно, еще вопрос позвольте, про "анналы" - чем они замечательны, что кривые в них заносят...

Точнее, Вы хотели спросить, чем замечательны кривые, что им дают имена и куда-то там заносят...
Вопрос необъятный.
Предложу поначалу книгу, довольно редкую, в интернете, кажется, её нет. Савёлов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение (справочное руководство). --- Москва: Физматгиз, 1960. Кроме математики много примеров типа механических.

Полазьте по французскому сайту (может, случайно, язык этот знаете? я его, кстати, выучил в электричках, в потолок не смотрел ).

Про окружность вопрос не возникает? Она стоит того, чтобы быть занесённой в анналы?

Вот, Шарля Штурма заинтересовало --- а что за кривая будет, чтобы радиус кривизны был равен полярному расстоянию? (Он сочинял задачки для своего учебника).

Логарифмическую спиральку повернём на любой угол, потом увеличим в нужное количество раз --- и она совпадёт сама с собой! По всей длине! Кто ещё на это способен?

Помимо простоты уравнений интересны случаи, например, простой механической модели (Ваш случай).

Тяжёлую цепь за концы подвесить --- что за кривая будет (на параболу похожая)?

Построение эллипса с помощью двух гвоздиков, забитых в деревянный стол, --- Вам известно?

Собака бежит за кошкой ($v_{\mbox{собаки}}<v_{\mbox{\vphantom{б}кошки}}$, $v_{\mbox{собаки}}>v_{\mbox{\vphantom{б}кошки}}$, $v_{\mbox{собаки}}=v_{\mbox{\vphantom{б}кошки}}$) --- по какой траектории?

Похоже, достаточно... тема необъятная. Если Вы часто скучаете в поездах и достаточно молоды --- поучите эту науку. Я имею в виду математику.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Розыском займусь не активно, запишу на будущее, положу в стек. Судя по длине стека, будущее далёкое. И розыск будет в плане свойств, весьма специфических...

Похоже, достаточно... тема необъятная. Если Вы часто скучаете в поездах --- поучите эту науку. Я имею в виду математику.

А вот так называемые двудужки (кривые, идущие из точки $A$ в $B$, составлены из двух гладко сопряжённых дуг окружностей). Ну не прелесть ли?

Да!
Спасибо. Воодушивили !
Давно-давно видел цепную линию «Кванте»(хороший был журнал), а в седьмом классе на уроках черчения делали эллипсограф, а на уроках труда – электрический двигатель – вот уж точно окружность стОит того.

Про Погоню Собака ---Кошка не слышал. Если они бегут по узкому коридору и даны начальные условия, то можно посчитать ( траектория ясно ограничена корридором). Если на плоскости- нужно знать стратегию кошки и собаки. Может собака напрямки додумается бежать ! J А в объеме – собака по деревьям лазить и заборам ходить не умеет J( релятивизмом конечно пренебрегаем).

И сайт французский интересный, посмотрю внимательнее.

[e7e5]

1) Как теперь найти похожую плоскую кривую, но для окружности? Т.Е. световая точка движется теперь не по прямой равномерно, а по окружности радиуса R равномерно, а луч ( свет), который идет вдоль радиуса, за пределы круга, в пространство, дает световое пятно на кривой в этой же плоскости. Это пятно ( точка) движется равноускоренно. Получается, что кривая будет как бы наматываться вокруг круга ( он ее "удерживает"). Будем называть такие кривые "равноускоренными кривыми" - лучше не придумал. Какие есть идеи? Рассмотреть малый угол и как растет длина?
( поробовать окружность аппроксимировать правильным N угольником, сторона будет 2*pi/n, далее на бумажке в клеточку строить для 60 угольника например)

2) Аналогично, для внутренней области круга, когда кривая начинает "расти" из центра круга, так что движение световой точки по этой кривой равноускоренное, в то время как точечный источник по окружности движется равномерно.

3) Можно ли дать строгое ( или "почти") математическое определение такой "равноускоренной" кривой из оптико-механической модели для произвольного "подходящего" элемента гладкой кривой?

[Henrylee]

e7e5 писал(а):

1) Как теперь найти похожую плоскую кривую, но для окружности? Т.Е. световая точка движется теперь не по прямой равномерно, а по окружности радиуса R равномерно, а луч ( свет), который идет вдоль радиуса, за пределы круга, в пространство, дает световое пятно на кривой в этой же плоскости. Это пятно ( точка) движется равномерно.

Наверное, Вы имели в виду равноускоренно (иначе получается просто окружность большего радиуса).
Попробуем. Рассмотрим полярную систему координат с центром в центре нашей окружности. По ней равномерно бежит точка с координатами $(R,t)$, для определенности возьмем верхнюю полуокружность $t\in[0,\pi]$. Вне круга расположена искомая кривая, заданная уравнением $\rho(\varphi)$, отражение на ней нашей точки имеет кординаты $(\rho(t),t)$. Поскольку точка бежит равноускоренно с ускорением $C$, то

$$ \frac{d^2s}{dt^2}=C $$

или

$$ \frac{ds}{dt}=Ct+C_1 $$

Приходим к уравнению

$$ \left(\frac{d\rho}{dt}\cos t-\rho(t)\sin t\right)^2+ \left(\frac{d\rho}{dt}\sin t+\rho(t)\cos t\right)^2=(Ct+C_1)^2 $$

[Алексей К.]

$$\left(\frac{d\rho}{dt}\right)^2+\rho^2(t)=(Ct+C_1)^2$$

Теорема Пифагора? (Пишу не думая, жара)

Добавлено спустя 9 минут 23 секунды:

Эрих Камке писал(а):

1.370. $y'^2+y^2=f^2(x)$.
Это уравнение может быть сведено к уравнению Абеля. Полагая $y=f\sin u(x)$, получаем уравнение типа 1.202...