Сопряженные ДУЧП

[Ёж]

Пусть даны ДУЧП 2-го порядка $M(u)=0$ и $N(u)=0$, а $M^{*}(u)=0$ и $N^{*}(u)=0$ сопряженные ДУ к исходным.
Если ДУ $N(u)=0$ получается из ДУ $M(u)=0$ с помощью замены $x=\varphi(\xi,\eta),$ $y=\psi(\xi,\eta)$, то имеется ли связь между уравнениями $M^{*}(u)=0$ и $N^{*}(u)=0$?

[Red_Herring]

А что такое сопряженное уравнение? Или, точнее, (формально) сопряженный оператор--напишите определение.

[Ёж]

Red_Herring в сообщении #1249887 писал(а):

А что такое сопряженное уравнение? Или, точнее, (формально) сопряженный оператор--напишите определение.

Если $L=\sum\limits_{i,k=1}^{n}a_{ik}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_k}+\sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}\frac{\partial}{\partial x_i}+c$ - линейный дифференциальный оператор второго порядка, то сопряженный оператор имеет вид $L^{*}u=\sum\limits_{i,k=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_k}(a_{ik} u)-\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial x_i}(b_{i} u)+cu$.

[Red_Herring]

А почему? Это ключевой вопрос!

Кстати, Ваша формула верна только для вещественных коэффициентов, для комплексных надо ещё взять сопряженные

[Ёж]

Red_Herring в сообщении #1249937 писал(а):

А почему? Это ключевой вопрос!

Кстати, Ваша формула верна только для вещественных коэффициентов, для комплексных надо ещё взять сопряженные

Формула записана для вещественных коэффициентов.
Только вопрос не совсем понял, а почему должна быть связь или а почему данное уравнение сопряженное?

[Red_Herring]

Ёж в сообщении #1249982 писал(а):

Формула записана для вещественных коэффициентов.

А где об этом было сказано? И зачем себя ограничивать и вторым порядком? И даже вообще операторами в частных производных?

Что такое (формально) сопряженный оператор в общем случае? Есть очень общее определение, из которого в очень частном случае следует приведенная Вами формула (и начинать надо с него).

[Ёж]

Red_Herring в сообщении #1250000 писал(а):

Ёж в сообщении #1249982 писал(а):

Формула записана для вещественных коэффициентов.

А где об этом было сказано? И зачем себя ограничивать и вторым порядком? И даже вообще операторами в частных производных?

Что такое (формально) сопряженный оператор в общем случае? Есть очень общее определение, из которого в очень частном случае следует приведенная Вами формула (и начинать надо с него).

Было дано уравнение с частными производными второго порядка с действительными коэффициентами. С помощью замены это уравнение приведено канонической форме. Каноническая форма уравнения имеет сопряженное уравнение. Возник вопрос, а исходное уравнение может быть самосопряженным или у него обязательно имеется сопряженное уравнение и с помощью какой замены из сопряженного уравнения данного уравнения можно получить сопряженное уравнение уравнения записанной канонической форме?

[Red_Herring]

Ёж в сообщении #1250191 писал(а):

Было дано уравнение с частными производными второго порядка с действительными коэффициентами. С помощью замены это уравнение приведено канонической форме. Каноническая форма уравнения имеет сопряженное уравнение

Что такое сопряженная матрица? Что такое сопряженный оператор? В общем случае, без конкретных выражений. Что при этом означает "каноническая форма" я оставляю на Вашей совести (и совести автора учебника, если Вы аккуратно его передали).

Если "сопряженное уравнение" вводится так, как Вы описали, и не объясняется почему так, то книга не стоит бумаги на которой напечатана.

[ewert]

Тут вот в чём проблема. Сопряжённым (соотв., самосопряжённым) уравнение как таковое не бывает. Бывает только дифференциальный оператор. А это -- далеко не только само дифференциальное выражение.

[Ёж]

Red_Herring в сообщении #1250205 писал(а):

Ёж в сообщении #1250191 писал(а):

Было дано уравнение с частными производными второго порядка с действительными коэффициентами. С помощью замены это уравнение приведено канонической форме. Каноническая форма уравнения имеет сопряженное уравнение

Что такое сопряженная матрица? Что такое сопряженный оператор? В общем случае, без конкретных выражений. Что при этом означает "каноническая форма" я оставляю на Вашей совести (и совести автора учебника, если Вы аккуратно его передали).

Если "сопряженное уравнение" вводится так, как Вы описали, и не объясняется почему так, то книга не стоит бумаги на которой напечатана.

Моя ошибка. Канонический вид ((( Автору книги претензий нет. Автор подразумевает, что читатель все это уже знает.

Пусть матрица $A=(a_{ij})$ матрица размера $m\times n$ элементы которой комплексные числа. Матрица $A^{*}=(\overline{a}_{ji})$ размера $n\times m$ называется сопряженной по отношению $A$.
Если элементы матрицы $A$ вещественные числа, то $A^{*}=A^{T}$.

[ewert]

Ёж в сообщении #1250223 писал(а):

Матрица $A^{*}=(\overline{a}_{ji})$ размера $n\times m$ называется сопряженной по отношению $A$.

Видите ли, нет. Т.е. она является, конечно, сопряжённой. Но называется она сопряжённой совсем по другим причинам, связанным со скалярным произведением.

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1250226 писал(а):

Видите ли, нет. Т.е. она является, конечно, сопряжённой. Но называется она сопряжённой совсем по другим причинам, связанным со скалярным произведением.

Именно это я и пытаюсь донести

[ewert]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1250241 писал(а):

Именно это я и пытаюсь донести

Дык и я пытался всего лишь дополнить.

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1250495 писал(а):

Дык и я пытался всего лишь дополнить.

Я понял, и мое замечание было не для Вас, а для ТС, чтобы и он понял, что мы говорим об одном и том же.