Факторизация по действию группы на многообразие

[ikozyrev]

Помогите разобраться.
В одной задаче встретил следующую формулировку: "Пусть $M$ - компактное многообразие со свободным действием группы G. Веедите на факторпространстве $M/G$ структуру гладкого многообразия..."
Пытаюсь понять что это за факторпространство. Для примера, возьмем многообразие $S^1$. Подействуем на него группой со свободным действием. Тут, кстати, первый вопрос - нельзя ли привести пример такой группы? Я что-то не могу сообразить. Например группа поворотов в данном случае не будет со совбодным действием, потому что одну точку в другую можно перевести как поворотом на угол $\alpha$ так и поворотом на $2\pi - \alpha$.
И второй вопрос - что подразумевается под факторпростанством в данном случае? Правильно ли я понимаю что мы факторизуем по орбитам? Если да, то опять же, нельзя ли привести пример получившегося факторпространства...Очень трудно воспринимать все это абстрактно, а с конкретным примером я бы сразу уловил суть.

[Munin]

ikozyrev в сообщении #1249455 писал(а):

Например группа поворотов в данном случае не будет со совбодным действием, потому что одну точку в другую можно перевести как поворотом на угол $\alpha$ так и поворотом на $2\pi+\alpha$.

Ну так в группе поворотов и то и другое - один элемент.
($2\pi-\alpha$ - очевидная опечатка. Это то же самое, что поворот на $-\alpha,$ то есть попросту, в другую сторону, не туда, куда нам надо.)

ikozyrev в сообщении #1249455 писал(а):

Для примера, возьмем многообразие $S^1$.

Если вы планируете что-то факторизовать, то возьмите у него заранее размерность побольше. Например, $S^1\times S^1.$

[pogulyat_vyshel]

ikozyrev в сообщении #1249455 писал(а):

Для примера, возьмем многообразие $S^1$

для примера возьмите $\mathbb{R}$ и подействуйте сдвигами $x\mapsto x+h$ т.е. группа состоит из степеней преобразования $g(x)=x+h,\quad h\ne 0$

[Munin]

pogulyat_vyshel
Может смутить то, что $\mathbb{R}$ некомпактно.

[g______d]

ikozyrev в сообщении #1249455 писал(а):

В одной задаче встретил следующую формулировку: "Пусть $M$ - компактное многообразие со свободным действием группы G. Веедите на факторпространстве $M/G$ структуру гладкого многообразия..."

Там явно чего-то не хватает (например, полной разрывности действия $G$).

Пример -- группа $G$ всех поворотов на рациональные углы действует на $S^1$. Фактормножество даже представить себе не так-то просто, и никакой естественной структуры многообразия на нём нет.

[pogulyat_vyshel]

Пусть человек с тривиальными вещами сперва разберется на интуитивном уровне. Еще пример. Берем многообразие $S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$ и действуем на него группой степеней отображений $g_0=id,\quad g_1(x,y)=-(x,y)$ Что тут фактормногообразие?

[ikozyrev]

pogulyat_vyshel в сообщении #1249520 писал(а):

Пусть человек с тривиальными вещами сперва разберется на интуитивном уровне. Еще пример. Берем многообразие $S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$ и действуем на него группой степеней отображений $g_0=id,\quad g_1(x,y)=-(x,y)$ Что тут фактормногообразие?

Похоже что $RP^2$

[pogulyat_vyshel]

не-а Начинайте с первого примера

[Slav-27]

ikozyrev в сообщении #1249530 писал(а):

Похоже что $RP^2$

$\mathbb RP^2$ -- оно двумерное. Как оно из окружности-то могло получиться?

[ikozyrev]

pogulyat_vyshel в сообщении #1249535 писал(а):

не-а Начинайте с первого примера

В первом примере орбиты - это все точки $[0,h)$, правильно?

[pogulyat_vyshel]

орбиты это последовательности в $\mathbb{R}$, но орбиты взаимно однозначно соответствуют точкам из $[0,h)$. Причем орбита, начинающаяся в $h$ совпадает с орбитой начинающейся в нуле. Поэтому этот полуинтервал естественно загнуть в окружность

[ikozyrev]

pogulyat_vyshel в сообщении #1249544 писал(а):

орбиты это последовательности в $\mathbb{R}$, но орбиты взаимно однозначно соответствуют точкам из $[0,h)$. Причем орбита, начинающаяся в $h$ совпадает с орбитой начинающейся в нуле. Поэтому этот полуинтервал естественно загнуть в окружность

Спасибо, с этим разобрался.
А во втором примере я имел ввиду $RP$ ибо орбитами будут все точки окружности склеенные с противоположными, так?

[pogulyat_vyshel]

ikozyrev в сообщении #1249545 писал(а):

А во втором примере я имел ввиду $RP$

да

[ikozyrev]

pogulyat_vyshel в сообщении #1249547 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1249545 писал(а):

А во втором примере я имел ввиду $RP$

да

Спасибо, теперь все понятно.